Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta l'esponente $2$ da ${(1 - \cos (h))}^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{{(1 - \cos (lim_{h \to 0} h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{{(1 - \cos (0))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = h^{2}$ e $g (h) = 1 - \cos (h)$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - \cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - \cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (h)$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $1$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (0 + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [- \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- \cos (h)$ rispetto a $h$ è $- \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (- \frac{d}{d h} [\cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [\cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8

La derivata di $\cos (h)$ rispetto a $h$ è $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) (- \sin (h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.10

Semplifica.

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Passaggio 1.3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (h))) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot 1 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.10.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.10.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.10.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) - 2 \cos (h) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.10.4

Riordina i termini.

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} - 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Passaggio 2.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Passaggio 2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 lim_{h \to 0} \sin (h)$

Passaggio 2.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Passaggio 4.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 \sin (0)$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 + 2 \sin (0)$

Passaggio 4.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 + 2 \cdot 0$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$