Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{3}} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Metti in evidenza $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} x} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

Passaggio 1.2

Estrai i termini dal radicale.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{x} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

Passaggio 2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Scomponi $x$ da $x \sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x})}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x})}{x \cdot x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x}}{x \cdot x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.2.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.2

Con $x$ che tende a $\infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.9

Semplifica.

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Passaggio 4.3.9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.9.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.5

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ per $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{\sqrt{x}}$ tende a $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 8

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Passaggio 8.2

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Passaggio 8.3

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 9

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

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Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune di $\frac{1}{2} \cdot 0 + 0$ e $4 + 6 \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Scomponi $2$ da $\frac{1}{2} \cdot 0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Passaggio 10.1.2

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)}{4 + 6 \cdot 0}$

Passaggio 10.1.3

Scomponi $2$ da $2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{4 + 6 \cdot 0}$

Passaggio 10.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2) + 6 \cdot 0}$

Passaggio 10.1.4.2

Scomponi $2$ da $6 \cdot 0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2) + 2 (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.1.4.3

Scomponi $2$ da $2 (2) + 2 (3 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2 + 3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2 + 3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{2 + 3 \cdot 0}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune di $\frac{1}{2} \cdot 0 + 0$ e $2 + 3 \cdot 0$ .

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Passaggio 10.2.1

Riordina i termini.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{2 + 0 \cdot 3}$

Passaggio 10.2.2

Scomponi $2$ da $\frac{1}{2} \cdot 0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 0}{2 + 0 \cdot 3}$

Passaggio 10.2.3

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)}{2 + 0 \cdot 3}$

Passaggio 10.2.4

Scomponi $2$ da $2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 3}$

Passaggio 10.2.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.5.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 0 \cdot 3}$

Passaggio 10.2.5.2

Scomponi $2$ da $0 \cdot 3$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 2 (0 \cdot 3)}$

Passaggio 10.2.5.3

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (0 \cdot 3)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 3)}$

Passaggio 10.2.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 3)}$

Passaggio 10.2.5.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{1 + 0 \cdot 3}$

Passaggio 10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 \cdot 3}$

Passaggio 10.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 \cdot 3}$

Passaggio 10.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $0$ per $3$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Passaggio 10.4.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{0}{1}$

Passaggio 10.5

Dividi $0$ per $1$ .

$0$