Calcolo Esempi

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = a {(x + h)}^{2} + b (x + h) + c$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = a ((x + h) (x + h)) + b (x + h) + c$

Passaggio 2.1.2.1.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = a (x (x + h) + h (x + h)) + b (x + h) + c$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = a (x \cdot x + x h + h (x + h)) + b (x + h) + c$

Passaggio 2.1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = a (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + b (x + h) + c$

Passaggio 2.1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + b (x + h) + c$

Passaggio 2.1.2.1.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + b (x + h) + c$

Passaggio 2.1.2.1.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + b (x + h) + c$

Passaggio 2.1.2.1.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + b (x + h) + c$

Passaggio 2.1.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = a x^{2} + a (2 h x) + a h^{2} + b (x + h) + c$

Passaggio 2.1.2.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x + h) = a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b (x + h) + c$

Passaggio 2.1.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b x + b h + c$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b x + b h + c$ .

$a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b x + b h + c$

Passaggio 2.2

Riordina.

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Passaggio 2.2.1

Sposta $b x$ .

$a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + b h + b x + c$

Passaggio 2.2.2

Sposta $a x^{2}$ .

$2 a h x + a h^{2} + a x^{2} + b h + b x + c$

Passaggio 2.2.3

Riordina $2 a h x$ e $a h^{2}$ .

$a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c$

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

$f (x + h) = a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c$

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c - (a x^{2} + b x + c)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c - (a x^{2}) - (b x) - c}{h}$

Passaggio 4.1.2

Rimuovi le parentesi.

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + b h + b x + c - a x^{2} - b x - c}{h}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $a x^{2}$ da $a x^{2}$ .

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + b h + b x + c + 0 - b x - c}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma $a h^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 a h x + b h + b x + c + a h^{2} - b x - c}{h}$

Passaggio 4.1.5

Sottrai $b x$ da $b x$ .

$\frac{2 a h x + b h + c + a h^{2} + 0 - c}{h}$

Passaggio 4.1.6

Somma $2 a h x$ e $0$ .

$\frac{b h + c + a h^{2} + 2 a h x - c}{h}$

Passaggio 4.1.7

Sottrai $c$ da $c$ .

$\frac{b h + a h^{2} + 2 a h x + 0}{h}$

Passaggio 4.1.8

Somma $b h + a h^{2} + 2 a h x$ e $0$ .

$\frac{b h + a h^{2} + 2 a h x}{h}$

Passaggio 4.1.9

Scomponi $h$ da $b h + a h^{2} + 2 a h x$ .

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Passaggio 4.1.9.1

Scomponi $h$ da $b h$ .

$\frac{h b + a h^{2} + 2 a h x}{h}$

Passaggio 4.1.9.2

Scomponi $h$ da $a h^{2}$ .

$\frac{h (b) + h (a (h)) + 2 a h x}{h}$

Passaggio 4.1.9.3

Scomponi $h$ da $2 a h x$ .

$\frac{h (b) + h (a (h)) + h (2 a x)}{h}$

Passaggio 4.1.9.4

Scomponi $h$ da $h (b) + h (a (h))$ .

$\frac{h (b + a (h)) + h (2 a x)}{h}$

Passaggio 4.1.9.5

Scomponi $h$ da $h (b + a (h)) + h (2 a x)$ .

$\frac{h (b + a (h) + 2 a x)}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{h (b + a (h) + 2 a x)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $b + a h + 2 a x$ per $1$ .

$b + a h + 2 a x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.2.1

Sposta $b$ .

$a h + 2 a x + b$

Passaggio 4.2.2.2

Riordina $a h$ e $2 a x$ .

$2 a x + a h + b$

Passaggio 5