Calcolo Esempi

$f (x) = x {(4 - x)}^{2}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x {(4 - x)}^{2} d x$

Passaggio 3

Sia $u = 4 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = 4 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia.

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Passaggio 3.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 3.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - (- u + 4) u^{2} d u$

Passaggio 4

Espandi $- (- u + 4) u^{2}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (- - u - 1 \cdot 4) u^{2} d u$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int - - u u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Passaggio 4.3

Sposta le parentesi.

$\int - - 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Passaggio 4.5

Moltiplica $u$ per $1$ .

$\int u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Passaggio 4.6

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Passaggio 4.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 + 2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Passaggio 4.8

Somma $1$ e $2$ .

$\int u^{3} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Passaggio 4.9

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

$- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

Passaggio 9.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x$ .

$\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x {(4 - x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$