Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sqrt{x} (6 + 5 x) d x$

Passaggio 3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = 6 + 5 x$ e $d v = \sqrt{x}$ .

$(6 + 5 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

Passaggio 4.2

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 5 d x$

Passaggio 4.3

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $5$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3} d x$

Passaggio 4.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{10}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{10}{3}$ fuori dall'integrale.

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{10}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ come $4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ per $\frac{10}{3}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 10}{5 \cdot 3} + C$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $10$ per $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 7.2.5

Scomponi $5$ da $20 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Passaggio 7.2.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.6.1

Scomponi $5$ da $15$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 (3)} + C$

Passaggio 7.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 3} + C$

Passaggio 7.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Passaggio 7.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Passaggio 7.2.8

Sottrai $4 x^{\frac{5}{2}}$ da $10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Passaggio 7.2.9

Scomponi $3$ da $6 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3} + C$

Passaggio 7.2.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.10.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 (1)} + C$

Passaggio 7.2.10.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

Passaggio 7.2.10.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

Passaggio 7.2.10.4

Dividi $2 x^{\frac{5}{2}}$ per $1$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 8

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$