Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 \int x^{- 3} d x + \int 9 x^{5} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Passaggio 7.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Passaggio 8

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 \int x^{5} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{- 1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Passaggio 10.2.2

$\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 \frac{x^{6}}{6} + C$

Passaggio 10.2.3

$9$ e $\frac{x^{6}}{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{9 x^{6}}{6} + C$

Passaggio 10.2.4

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

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Passaggio 10.2.4.1

Scomponi $3$ da $9 x^{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{6} + C$

Passaggio 10.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.2.4.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 (2)} + C$

Passaggio 10.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 \cdot 2} + C$

Passaggio 10.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{6}}{2} + C$

Passaggio 10.3

Riordina i termini.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$