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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Scrivi come funzione.
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 2.1.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.1.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.2
Differenzia.
Passaggio 2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 3
Passaggio 3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.2
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 3.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 3.2.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 3.3
Differenzia.
Passaggio 3.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 3.3.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 3.3.4
Moltiplica per .
Passaggio 4
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 5.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 5.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 5.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 5.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 5.3.1
Dividi per .
Passaggio 6
Trova il valore dell'incognita corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.
Passaggio 7
Passaggio 7.1
Il valore esatto di è .
Passaggio 8
Passaggio 8.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 8.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 8.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 8.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 8.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 8.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 8.3.1
Dividi per .
Passaggio 9
La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da per trovare la soluzione nel secondo quadrante.
Passaggio 10
Passaggio 10.1
Semplifica.
Passaggio 10.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 10.1.2
Somma e .
Passaggio 10.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Passaggio 10.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 10.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 10.2.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 10.2.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 10.2.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 11
La soluzione dell'equazione .
Passaggio 12
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 13
Passaggio 13.1
Moltiplica per .
Passaggio 13.2
Il valore esatto di è .
Passaggio 13.3
Moltiplica per .
Passaggio 14
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 15
Passaggio 15.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 15.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 15.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.2
Il valore esatto di è .
Passaggio 15.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 16
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 17
Passaggio 17.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 17.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 17.1.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 17.2
Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.
Passaggio 17.3
Il valore esatto di è .
Passaggio 17.4
Moltiplica .
Passaggio 17.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 17.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 18
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 19
Passaggio 19.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 19.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 19.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 19.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 19.2.1.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 19.2.2
Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.
Passaggio 19.2.3
Il valore esatto di è .
Passaggio 19.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.5
La risposta finale è .
Passaggio 20
Questi sono gli estremi locali per .
è un massimo locale
è un minimo locale
Passaggio 21