Calcolo Esempi

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Passaggio 1.2.4.3

Riordina i fattori di $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{3})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{3}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} - 1)}^{2} x) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica ${(x^{2} - 1)}^{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3})$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $6$ per $8$ .

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 2.11.3

Scomponi $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ da $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2} + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.3.1

Scomponi $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ da $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 2.11.3.2

Scomponi $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ da $8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.3.3

Scomponi $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ da $8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.4

Somma $6 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.5

Riscrivi ${(x^{2} - 1)}^{2}$ come $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.6

Espandi $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.7.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.7.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.7.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.7.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.7.1.3

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.7.1.4

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.7.2

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.8

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (- 2 x^{2}) + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.9.1

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.9.2

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.11.10

Espandi $(8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.11.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.11.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11.2.3

Somma $2$ e $4$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11.3

Moltiplica $8$ per $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11.4

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.11.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11.6.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11.6.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11.7

Moltiplica $- 16$ per $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11.8

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11.9

Moltiplica $7$ per $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} + 8 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.11.10

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Passaggio 2.11.12

Sottrai $112 x^{4}$ da $- 8 x^{4}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Passaggio 2.11.13

Somma $16 x^{2}$ e $56 x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 72 x^{2} - 8$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Passaggio 4.1.2.4.3

Riordina i fattori di $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$f' (x) = 8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 5.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 5.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.4

Imposta ${(x^{2} - 1)}^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta ${(x^{2} - 1)}^{3}$ uguale a $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi ${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

${(x^{2} - 1^{2})}^{3} = 0$

Passaggio 5.4.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{3} = 0$

Passaggio 5.4.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 1) (x - 1)$ .

${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 5.4.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 5.4.2.3

Imposta ${(x + 1)}^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Imposta ${(x + 1)}^{3}$ uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

Passaggio 5.4.2.3.2

Risolvi ${(x + 1)}^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.2.1

Poni $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.4.2.3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5.4.2.4

Imposta ${(x - 1)}^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.4.1

Imposta ${(x - 1)}^{3}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 5.4.2.4.2

Risolvi ${(x - 1)}^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.4.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4.2.4.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.4.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$ vera.

$x = - 1, 1$

Passaggio 5.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ vera.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$56 {(0)}^{6} - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$56 \cdot 0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $56$ per $0$ .

$0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 120 \cdot 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 120$ per $0$ .

$0 + 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Passaggio 9.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + 72 \cdot 0 - 8$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $72$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 - 8$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0 - 8$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 - 8$

Passaggio 9.2.3

Sottrai $8$ da $0$ .

$- 8$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 1)}^{4}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = {(0 - 1)}^{4}$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = {(- 1)}^{4}$

Passaggio 11.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$56 {(- 1)}^{6} - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$56 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $56$ per $1$ .

$56 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Passaggio 13.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$56 - 120 \cdot 1 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $- 120$ per $1$ .

$56 - 120 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Passaggio 13.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$56 - 120 + 72 \cdot 1 - 8$

Passaggio 13.1.6

Moltiplica $72$ per $1$ .

$56 - 120 + 72 - 8$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $120$ da $56$ .

$- 64 + 72 - 8$

Passaggio 13.2.2

Somma $- 64$ e $72$ .

$8 - 8$

Passaggio 13.2.3

Sottrai $8$ da $8$ .

$0$

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dall'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata prima $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 8 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Moltiplica $8$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = - 32 {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 14.2.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = - 32 {(16 - 1)}^{3}$

Passaggio 14.2.2.3

Sottrai $1$ da $16$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 15^{3}$

Passaggio 14.2.2.4

Eleva $15$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 3375$

Passaggio 14.2.2.5

Moltiplica $- 32$ per $3375$ .

$f' (- 4) = - 108000$

Passaggio 14.2.2.6

La risposta finale è $- 108000$ .

$- 108000$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 0.5$ , dall'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata prima $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.5$ nell'espressione.

$f' (- 0.5) = 8 (- 0.5) {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 14.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Moltiplica $8$ per $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 14.3.2.2

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Passaggio 14.3.2.3

Sottrai $1$ da $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(- 0.75)}^{3}$

Passaggio 14.3.2.4

Eleva $- 0.75$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 0.5) = - 4 \cdot - 0.421875$

Passaggio 14.3.2.5

Moltiplica $- 4$ per $- 0.421875$ .

$f' (- 0.5) = 1.6875$

Passaggio 14.3.2.6

La risposta finale è $1.6875$ .

$1.6875$

Passaggio 14.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.5$ , dall'intervallo $(0, 1)$ nella derivata prima $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.5$ nell'espressione.

$f' (0.5) = 8 (0.5) {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 14.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Moltiplica $8$ per $0.5$ .

$f' (0.5) = 4 {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 14.4.2.2

Eleva $0.5$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.5) = 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Passaggio 14.4.2.3

Sottrai $1$ da $0.25$ .

$f' (0.5) = 4 {(- 0.75)}^{3}$

Passaggio 14.4.2.4

Eleva $- 0.75$ alla potenza di $3$ .

$f' (0.5) = 4 \cdot - 0.421875$

Passaggio 14.4.2.5

Moltiplica $4$ per $- 0.421875$ .

$f' (0.5) = - 1.6875$

Passaggio 14.4.2.6

La risposta finale è $- 1.6875$ .

$- 1.6875$

Passaggio 14.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dall'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata prima $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 8 (4) {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 14.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.1

Moltiplica $8$ per $4$ .

$f' (4) = 32 {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 14.5.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 32 {(16 - 1)}^{3}$

Passaggio 14.5.2.3

Sottrai $1$ da $16$ .

$f' (4) = 32 \cdot 15^{3}$

Passaggio 14.5.2.4

Eleva $15$ alla potenza di $3$ .

$f' (4) = 32 \cdot 3375$

Passaggio 14.5.2.5

Moltiplica $32$ per $3375$ .

$f' (4) = 108000$

Passaggio 14.5.2.6

La risposta finale è $108000$ .

$108000$

Passaggio 14.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - 1$ , allora $x = - 1$ è un minimo locale.

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 14.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 14.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 1$ , allora $x = 1$ è un minimo locale.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 14.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$x = - 1$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 1$ è un minimo locale

$x = - 1$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 15