Calcolo Esempi

$f (x) = (x - 2) {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x - 3)}^{2}$ come $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) ((x - 3) (x - 3))]$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x (x - 3) - 3 (x - 3))]$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))]$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)]$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 6 x + 9)]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 1.5.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 1.5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 1.5.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$(x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 1.5.6

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 1.5.7

Somma $2 x - 6$ e $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 1.5.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.5.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.5.10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0)$

Passaggio 1.5.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1$

Passaggio 1.5.11.2

Moltiplica $x^{2} - 6 x + 9$ per $1$ .

$(x - 2) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 1.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 1.6.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 1.6.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 1.6.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 1.6.4.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 1.6.4.6

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{2} - 4 x - 6 \cdot x - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 1.6.4.7

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 1.6.4.8

Sottrai $6 x$ da $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 10 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 1.6.4.9

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 12 - 6 x + 9$

Passaggio 1.6.4.10

Sottrai $6 x$ da $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 16 x + 12 + 9$

Passaggio 1.6.4.11

Somma $12$ e $9$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 16 x + 21$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (21)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (21)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (21)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $21$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $21$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $6 x - 16$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi ${(x - 3)}^{2}$ come $(x - 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) ((x - 3) (x - 3)))$

Passaggio 4.1.2

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x (x - 3) - 3 (x - 3)))$

Passaggio 4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)))$

Passaggio 4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3))$

Passaggio 4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3))$

Passaggio 4.1.3.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3))$

Passaggio 4.1.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9))$

Passaggio 4.1.3.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 6 x + 9))$

Passaggio 4.1.4

$f' (x) = (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Passaggio 4.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = (x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Passaggio 4.1.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Passaggio 4.1.5.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Passaggio 4.1.5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Passaggio 4.1.5.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Passaggio 4.1.5.6

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Passaggio 4.1.5.7

Somma $2 x - 6$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

Passaggio 4.1.5.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Passaggio 4.1.5.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Passaggio 4.1.5.10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0)$

Passaggio 4.1.5.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1$

Passaggio 4.1.5.11.2

Moltiplica $x^{2} - 6 x + 9$ per $1$ .

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 4.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 4.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 4.1.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 4.1.6.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 4.1.6.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 4.1.6.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 4.1.6.4.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 4.1.6.4.6

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6 \cdot x - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 4.1.6.4.7

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 4.1.6.4.8

Sottrai $6 x$ da $- 4 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 10 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 4.1.6.4.9

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 12 - 6 x + 9$

Passaggio 4.1.6.4.10

Sottrai $6 x$ da $- 10 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 12 + 9$

Passaggio 4.1.6.4.11

Somma $12$ e $9$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 21$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 16 x + 21$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 21 = 63$ e la cui somma è $b = - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 16$ da $- 16 x$ .

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Riscrivi $- 16$ come $- 7$ più $- 9$ .

$3 x^{2} + (- 7 - 9) x + 21 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 7 x - 9 x + 21 = 0$

Passaggio 5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 7 x) - 9 x + 21 = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x - 7) - 3 (3 x - 7) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 7$ .

$(3 x - 7) (x - 3) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $3 x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $3 x - 7$ uguale a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $3 x - 7 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 7$

Passaggio 5.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 7$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Passaggio 5.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 7) (x - 3) = 0$ vera.

$x = \frac{7}{3}, 3$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{7}{3}, 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{7}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (\frac{7}{3}) - 16$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 9.1.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{7}{3} - 16$

Passaggio 9.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{7}{3} - 16$

Passaggio 9.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 7 - 16$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$14 - 16$

Passaggio 9.2

Sottrai $16$ da $14$ .

$- 2$

Passaggio 10

$x = \frac{7}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{7}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{7}{3}$ .

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Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{7}{3}) = ((\frac{7}{3}) - 2) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 11.2.1

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Passaggio 11.2.2

$- 2$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Passaggio 11.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7 - 2 \cdot 3}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7 - 6}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Passaggio 11.2.4.2

Sottrai $6$ da $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

Passaggio 11.2.5

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Passaggio 11.2.6

$- 3$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})}^{2}$

Passaggio 11.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7 - 3 \cdot 3}{3})}^{2}$

Passaggio 11.2.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.8.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7 - 9}{3})}^{2}$

Passaggio 11.2.8.2

Sottrai $9$ da $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{- 2}{3})}^{2}$

Passaggio 11.2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2}$

Passaggio 11.2.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 11.2.10.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2})$

Passaggio 11.2.10.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}))$

Passaggio 11.2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 11.2.11.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}))$

Passaggio 11.2.11.2

Moltiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 11.2.12

Combina.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Passaggio 11.2.13

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.2.13.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.13.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Passaggio 11.2.13.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3^{1 + 2}}$

Passaggio 11.2.13.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3^{3}}$

Passaggio 11.2.14

Moltiplica $2^{2}$ per $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2^{2}}{3^{3}}$

Passaggio 11.2.15

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{4}{3^{3}}$

Passaggio 11.2.16

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{4}{27}$

Passaggio 11.2.17

La risposta finale è $\frac{4}{27}$ .

$y = \frac{4}{27}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (3) - 16$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 13.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$18 - 16$

Passaggio 13.2

Sottrai $16$ da $18$ .

$2$

Passaggio 14

$x = 3$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 3$ .

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Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = ((3) - 2) {((3) - 3)}^{2}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sottrai $2$ da $3$ .

$f (3) = 1 {((3) - 3)}^{2}$

Passaggio 15.2.2

Moltiplica ${((3) - 3)}^{2}$ per $1$ .

$f (3) = {((3) - 3)}^{2}$

Passaggio 15.2.3

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (3) = 0^{2}$

Passaggio 15.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (3) = 0$

Passaggio 15.2.5

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = (x - 2) {(x - 3)}^{2}$ .

$(\frac{7}{3}, \frac{4}{27})$ è un massimo locale

$(3, 0)$ è un minimo locale

Passaggio 17