Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} - 4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x^{2} - 4 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} - 4 x + 3 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $x^{2} - 4 x + 3$ e $0$ .

$x^{2} - 4 x + 3$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $2 x - 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $x^{2} - 4 x + 3$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} - 4 x + 3$ .

$x^{2} - 4 x + 3$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $x^{2} - 4 x + 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 3, - 1$

Passaggio 5.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 3) (x - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 3, 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 3, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 (3) - 4$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 - 4$

Passaggio 9.2

Sottrai $4$ da $6$ .

$2$

Passaggio 10

$x = 3$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{3} - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) - 4$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Scomponi $3$ da ${(3)}^{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) - 4$

Passaggio 11.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) - 4$

Passaggio 11.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (3) = 3^{2} - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) - 4$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 9 - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) - 4$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 9 - 2 \cdot 9 + 3 (3) - 4$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$f (3) = 9 - 18 + 3 (3) - 4$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (3) = 9 - 18 + 9 - 4$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $18$ da $9$ .

$f (3) = - 9 + 9 - 4$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 9$ e $9$ .

$f (3) = 0 - 4$

Passaggio 11.2.2.3

Sottrai $4$ da $0$ .

$f (3) = - 4$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 (1) - 4$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - 4$

Passaggio 13.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$- 2$

Passaggio 14

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 3 (1) - 4$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 1 - 2 {(1)}^{2} + 3 (1) - 4$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} - 2 {(1)}^{2} + 3 (1) - 4$

Passaggio 15.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 + 3 (1) - 4$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 (1) - 4$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 - 4$

Passaggio 15.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Scrivi $- 2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} + 3 - 4$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3 - 4$

Passaggio 15.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + 3 - 4$

Passaggio 15.2.2.4

Scrivi $3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} - 4$

Passaggio 15.2.2.5

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{3} - 4$

Passaggio 15.2.2.6

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} - 4$

Passaggio 15.2.2.7

Scrivi $- 4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{- 4}{1}$

Passaggio 15.2.2.8

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 15.2.2.9

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 15.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 - 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 15.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f (1) = \frac{1 - 6 + 3 \cdot 3 - 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 15.2.4.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (1) = \frac{1 - 6 + 9 - 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 15.2.4.3

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f (1) = \frac{1 - 6 + 9 - 12}{3}$

Passaggio 15.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Sottrai $6$ da $1$ .

$f (1) = \frac{- 5 + 9 - 12}{3}$

Passaggio 15.2.5.2

Somma $- 5$ e $9$ .

$f (1) = \frac{4 - 12}{3}$

Passaggio 15.2.5.3

Sottrai $12$ da $4$ .

$f (1) = \frac{- 8}{3}$

Passaggio 15.2.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (1) = - \frac{8}{3}$

Passaggio 15.2.6

La risposta finale è $- \frac{8}{3}$ .

$y = - \frac{8}{3}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4$ .

$(3, - 4)$ è un minimo locale

$(1, - \frac{8}{3})$ è un massimo locale

Passaggio 17