Calcolo Esempi

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{x} \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x)) - (\sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Riordina $e^{x}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Passaggio 2.4.2.2

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Passaggio 2.4.2.3

Sottrai $e^{x} \sin (x)$ da $- e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Passaggio 2.4.2.4

Somma $- e^{x} \cos (x)$ e $\cos (x) e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1

Riordina $\cos (x)$ e $e^{x}$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

Passaggio 2.4.2.4.2

Somma $- e^{x} \cos (x)$ e $e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 0$

Passaggio 2.4.2.5

Somma $- 2 e^{x} \sin (x)$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$

Passaggio 4

Fattorizza $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Passaggio 4.2

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 6

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 6.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 6.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 7

Imposta $- \sin (x) + \cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $- \sin (x) + \cos (x)$ uguale a $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.2

Frazioni separate.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.5

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.6

Frazioni separate.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 7.2.8

Dividi $0$ per $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Passaggio 7.2.9

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Passaggio 7.2.10

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - 1$

Passaggio 7.2.11

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.11.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 7.2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.11.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 7.2.11.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 7.2.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.11.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Passaggio 7.2.12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 7.2.13

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.13.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.14

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.15

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.15.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.15.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.15.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.15.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 7.2.15.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.15.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 7.2.15.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 7.2.16

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 e^{\frac{π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}$

Passaggio 11

$x = \frac{π}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 12.2.2

$e^{\frac{π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 14.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 14.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nel numeratore.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 14.3.2

Scomponi $2$ da $- 2 e^{\frac{5 π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 14.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 14.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- e^{\frac{5 π}{4}} (- \sqrt{2})$

Passaggio 14.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Passaggio 14.4.2

Moltiplica $e^{\frac{5 π}{4}}$ per $1$ .

$e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Passaggio 15

$x = \frac{5 π}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 π}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Passaggio 16.2.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 16.2.3

$e^{\frac{5 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 16.2.4

La risposta finale è $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = e^{x} \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ è un massimo locale

$(\frac{5 π}{4}, - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ è un minimo locale

Passaggio 18