Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x}{x^{2} + 4}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 4}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

$4 \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x^{2} + 4$ per $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.9

$4$ e $\frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.10.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 16) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 16) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 16) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (16)) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.2.7

Somma $- 8 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 16) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 16) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 16) (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 16) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 16) ((x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 16) ((x^{2} + 4) (2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 16) ((x^{2} + 4) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 16) ((x^{2} + 4) (2 x))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 16) (2 \cdot ((x^{2} + 4) x))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 4 (- 4 x^{2} + 16) ((x^{2} + 4) x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) ((x^{2} + 4) x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(x^{2} + 4)}^{2} x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Riscrivi ${(x^{2} + 4)}^{2}$ come $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 ((x^{2} + 4) (x^{2} + 4)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3

Espandi $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} (x^{2} + 4) + 4 (x^{2} + 4)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 (x^{2} + 4)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + 4 \cdot x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.2

Somma $4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + 8 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 8 (8 x^{2}) - 8 \cdot 16) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.6.1

Moltiplica $8$ per $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 64 x^{2} - 8 \cdot 16) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 8$ per $16$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 64 x^{2} - 128) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{4} x - 64 x^{2} x - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 64 x^{2} x - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 64 x^{2} x - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{1 + 4} - 64 x^{2} x - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{2} x - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 (x \cdot x^{2}) - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 (x \cdot x^{2}) - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{1 + 2} - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + (16 x^{2} - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + (16 x^{2} - 64) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + (16 x^{2} - 64) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + (16 x^{2} - 64) (x^{2 + 1} + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + (16 x^{2} - 64) (x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11

Espandi $(16 x^{2} - 64) (x^{3} + 4 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{2} (x^{3} + 4 x) - 64 (x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (4 x) - 64 (x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (4 x) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 (x^{3} x^{2}) + 16 x^{2} (4 x) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{3 + 2} + 16 x^{2} (4 x) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 16 x^{2} (4 x) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (4 x^{2} x) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (4 x^{1 + 2}) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (4 x^{3}) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.4

Moltiplica $16$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.5

Moltiplica $4$ per $- 64$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 256 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.2

Sottrai $64 x^{3}$ da $64 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 0 - 256 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.3

Somma $16 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} - 256 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.2

Somma $- 8 x^{5}$ e $16 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x - 256 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.3

Sottrai $256 x$ da $- 128 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 64 x^{3} - 384 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Scomponi $8 x$ da $8 x^{5} - 64 x^{3} - 384 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Scomponi $8 x$ da $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) - 64 x^{3} - 384 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.2

Scomponi $8 x$ da $- 64 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 8 x^{2}) - 384 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.3

Scomponi $8 x$ da $- 384 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x (- 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.4

Scomponi $8 x$ da $8 x (x^{4}) + 8 x (- 8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 8 x^{2}) + 8 x (- 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.5

Scomponi $8 x$ da $8 x (x^{4} - 8 x^{2}) + 8 x (- 48)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ({(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (u^{2} - 8 u - 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.4

Scomponi $u^{2} - 8 u - 48$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 48$ e la cui somma è $- 8$ .

$- 12, 4$

Passaggio 2.5.4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f'' (x) = \frac{8 x ((u - 12) (u + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 12) (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ e ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Scomponi $x^{2} + 4$ da $8 x (x^{2} - 12) (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (8 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 4$ da ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (8 x (x^{2} - 12))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (8 x (x^{2} - 12))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x}{x^{2} + 4}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 4}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 4})$

Passaggio 4.1.2

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $x^{2} + 4$ per $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 4.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 4.1.3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 4.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 4.1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 4.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 4.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 4.1.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 4.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 4.1.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Passaggio 4.1.9

$4$ e $\frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 4 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x^{2} = - 16$

Passaggio 5.3.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 16$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 4}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi $- 16$ per $- 4$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 5.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 5.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 5.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 5.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 2, - 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{8 (2) ({(2)}^{2} - 12)}{{({(2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{16 (2^{2} - 12)}{{(2^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16 (2^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{16 (2^{2} - 12)}{8^{3}}$

Passaggio 9.2.3

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$\frac{16 (2^{2} - 12)}{512}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16 (4 - 12)}{512}$

Passaggio 9.3.2

Sottrai $12$ da $4$ .

$\frac{16 \cdot - 8}{512}$

Passaggio 9.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $16$ per $- 8$ .

$\frac{- 128}{512}$

Passaggio 9.4.2

Elimina il fattore comune di $- 128$ e $512$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Scomponi $128$ da $- 128$ .

$\frac{128 (- 1)}{512}$

Passaggio 9.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.2.1

Scomponi $128$ da $512$ .

$\frac{128 \cdot - 1}{128 \cdot 4}$

Passaggio 9.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{128 \cdot - 1}{128 \cdot 4}$

Passaggio 9.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{4}$

Passaggio 9.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 10

$x = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{4 (2)}{{(2)}^{2} + 4}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (2) = \frac{8}{2^{2} + 4}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = \frac{8}{4 + 4}$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $4$ e $4$ .

$f (2) = \frac{8}{8}$

Passaggio 11.2.3

Dividi $8$ per $8$ .

$f (2) = 1$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{8 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$\frac{- 16 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 16 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Passaggio 13.2.2

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{- 16 ({(- 2)}^{2} - 12)}{8^{3}}$

Passaggio 13.2.3

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 16 ({(- 2)}^{2} - 12)}{512}$

Passaggio 13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 16 (4 - 12)}{512}$

Passaggio 13.3.2

Sottrai $12$ da $4$ .

$\frac{- 16 \cdot - 8}{512}$

Passaggio 13.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Moltiplica $- 16$ per $- 8$ .

$\frac{128}{512}$

Passaggio 13.4.2

Elimina il fattore comune di $128$ e $512$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.1

Scomponi $128$ da $128$ .

$\frac{128 (1)}{512}$

Passaggio 13.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.2.1

Scomponi $128$ da $512$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Passaggio 13.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Passaggio 13.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 14

$x = - 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(- 2)}^{2} + 4}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8}{{(- 2)}^{2} + 4}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8}{4 + 4}$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $4$ e $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 8}{8}$

Passaggio 15.2.3

Dividi $- 8$ per $8$ .

$f (- 2) = - 1$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 4}$ .

$(2, 1)$ è un massimo locale

$(- 2, - 1)$ è un minimo locale

Passaggio 17