Calcolo Esempi

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x^{2} + b x + c$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x^{2}$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [b x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $b x$ rispetto a $x$ è $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $b$ per $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 1.4

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 a x + b + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Somma $2 a x + b$ e $0$ .

$2 a x + b$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$b + 2 a x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $b + 2 a x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (b) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Passaggio 2.1.2

Poiché $b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $b$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 a x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2 a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 a x$ rispetto a $x$ è $2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a \cdot 1$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $2 a$ .

$f'' (x) = 2 a$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$b + 2 a x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x^{2} + b x + c$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x^{2}$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 4.1.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [b x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $b x$ rispetto a $x$ è $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $b$ per $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 a x + b + 0$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Somma $2 a x + b$ e $0$ .

$2 a x + b$

Passaggio 4.1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = b + 2 a x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $b + 2 a x$ .

$b + 2 a x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $b + 2 a x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$b + 2 a x = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $b$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 a x = - b$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 a$ ciascun termine in $2 a x = - b$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 a$ ciascun termine in $2 a x = - b$ .

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- b}{2 a}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 a$

Passaggio 9

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 10