Calcolo Esempi

$f (x) = - 4 x {(x + 2)}^{3}$

Passaggio 1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x {(x + 2)}^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ .

$- 4 (x \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$- 4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 4.6

Moltiplica ${(x + 2)}^{3}$ per $1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3})$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$- 12 (x ({(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Passaggio 5.3

Scomponi $4 {(x + 2)}^{2}$ da $- 12 x {(x + 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $4 {(x + 2)}^{2}$ da $- 12 x {(x + 2)}^{2}$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $4 {(x + 2)}^{2}$ da $- 4 {(x + 2)}^{3}$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $4 {(x + 2)}^{2}$ da $4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x - (x + 2))$

Passaggio 5.4

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$4 ((x + 2) (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Passaggio 5.5

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Passaggio 5.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Passaggio 5.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Passaggio 5.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Passaggio 5.6.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$4 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Passaggio 5.6.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

Passaggio 5.6.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$4 (x^{2} + 4 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

Passaggio 5.7

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

Passaggio 5.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - (x + 2))$

Passaggio 5.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 1 \cdot 2)$

Passaggio 5.9.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 2)$

Passaggio 5.10

Sottrai $x$ da $- 3 x$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$

Passaggio 5.11

Espandi $(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$4 x^{2} (- 4 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \cdot - 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.2.1

Sposta $x$ .

$4 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 \cdot - 4 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12.3

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$- 16 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12.4

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x \cdot x + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.1

Sposta $x$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 (x \cdot x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12.7

Moltiplica $16$ per $- 4$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12.8

Moltiplica $- 2$ per $16$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12.9

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x + 16 \cdot - 2$

Passaggio 5.12.10

Moltiplica $16$ per $- 2$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

Passaggio 5.13

Sottrai $64 x^{2}$ da $- 8 x^{2}$ .

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

Passaggio 5.14

Sottrai $64 x$ da $- 32 x$ .

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 96 x - 32$