Calcolo Esempi

$h (t) = \sqrt{t} (1 - t^{2})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} (1 - t^{2})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 1 - t^{2}$ .

$t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}] + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$t^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- (2 t)) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- 2 t) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Moltiplica $t^{\frac{1}{2}}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta $t$ .

$t \cdot t^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Moltiplica $t$ per $t^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$t^{1} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$t^{1 + \frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.5

Somma $2$ e $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5

Sposta $- 2$ alla sinistra di $t^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 \cdot t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 12

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 13

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.2

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ e $t^{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.3

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.4

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2 - \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.4.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.4.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{4 - 1}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.4.5.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.5

Per scrivere $- 2 t^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.6

$- 2 t^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.8

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{- 4 t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.9

Sottrai $t^{\frac{3}{2}}$ da $- 4 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- 5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$