Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x - 1}{x + 1}$ per $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.8.3

Moltiplica $\frac{x - 1}{x + 1}$ per $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1

Scomponi $x - 1$ da $(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.2.1

Combina i termini opposti in $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.2.1.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.2.3

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$