Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x^{3} - x^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{3} - x^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3} - x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{3} - x^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3} - x^{2}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{3} - x^{2}} (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{3} - x^{2}} (3 x^{2} - (2 x))$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3} - x^{2}} (3 x^{2} - 2 x)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{3} - x^{2}} (3 x^{2} - 2 x)$ .

$(3 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{3} - x^{2}}$

Passaggio 3.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} - x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$(3 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} x - x^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$(3 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (x - 1)}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3 x^{2} - 2 x$ per $\frac{1}{x^{2} (x - 1)}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{2} (x - 1)}$

Passaggio 3.4

Scomponi $x$ da $3 x^{2} - 2 x$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) - 2 x}{x^{2} (x - 1)}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 2}{x^{2} (x - 1)}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $x$ da $x (3 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (x - 1)}$

Passaggio 3.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x (x (x - 1))}$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (3 x - 2)}{x (x (x - 1))}$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x - 2}{x (x - 1)}$