Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (e^{x} + 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{x} + 1$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x} + 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + 0)$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} e^{x}$

Passaggio 4.2.2

$\frac{1}{e^{x} + 1}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$