Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (2 x) \cos (2 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (2 x)$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\sin (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$\sin (2 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 3

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sin^{1} (2 x) \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 4

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Somma $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 6.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 6.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 6.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 7.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 8

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 9

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 \sin^{2} (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 11

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 12

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 14

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 14.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \cdot 2$

Passaggio 14.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos^{2} (2 x)$ .

$- 2 \sin^{2} (2 x) + 2 \cos^{2} (2 x)$