Calcolo Esempi

$f (x) = x {(x - 4)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 4$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

Passaggio 3.6

Moltiplica ${(x - 4)}^{3}$ per $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Scomponi ${(x - 4)}^{2}$ da $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ .

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Passaggio 4.1.1

Scomponi ${(x - 4)}^{2}$ da $x (3 {(x - 4)}^{2})$ .

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi ${(x - 4)}^{2}$ da ${(x - 4)}^{3}$ .

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Passaggio 4.1.3

Scomponi ${(x - 4)}^{2}$ da ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

${(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

Passaggio 4.2.2

Somma $3 x$ e $x$ .

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Passaggio 4.3

Riscrivi ${(x - 4)}^{2}$ come $(x - 4) (x - 4)$ .

$(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

Passaggio 4.4

Espandi $(x - 4) (x - 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Passaggio 4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Passaggio 4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Passaggio 4.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Passaggio 4.5.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Passaggio 4.5.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $4 x$ da $- 4 x$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Passaggio 4.6

Espandi $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 4.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.7.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 4.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.7.2.1

Sposta $x$ .

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 4.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 4.7.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 4.7.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 4.7.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 4.7.3

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 4.7.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 4.7.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.7.5.1

Sposta $x$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 4.7.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 4.7.6

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 4.7.7

Moltiplica $- 4$ per $- 8$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Passaggio 4.7.8

Moltiplica $4$ per $16$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

Passaggio 4.7.9

Moltiplica $16$ per $- 4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Passaggio 4.8

Sottrai $32 x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Passaggio 4.9

Somma $32 x$ e $64 x$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$