Calcolo Esempi

$f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x - 2 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.3.5

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.3.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Passaggio 1.4.2.2

Sottrai $2$ da $7$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 2 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{x}$

Passaggio 2.2.3

$- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{x}$

Passaggio 2.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{x}$

Passaggio 2.3

Sottrai $\frac{2}{x}$ da $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x - 2 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.5

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.7

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Passaggio 4.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Passaggio 4.1.4.2.2

Sottrai $2$ da $7$ .

$f' (x) = 5 - 2 \ln (x)$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5 - 2 \ln (x)$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $5 - 2 \ln (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \ln (x) = - 5$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \ln (x) = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \ln (x) = - 5$ .

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\ln (x) = \frac{5}{2}$

Passaggio 5.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $\ln (x) = \frac{5}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{5}{2}} = x$

Passaggio 5.6

Riscrivi l'equazione come $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 6.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = e^{\frac{5}{2}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2}{e^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 9

$x = e^{\frac{5}{2}}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = e^{\frac{5}{2}}$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $e^{\frac{5}{2}}$ nell'espressione.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 (e^{\frac{5}{2}}) - 2 e^{\frac{5}{2}} \ln (e^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $\frac{5}{2}$ dall'esponente.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot \ln (e))$

Passaggio 10.2.1.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot 1)$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} \frac{5}{2}$

Passaggio 10.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Passaggio 10.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Passaggio 10.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - e^{\frac{5}{2}} \cdot 5$

Passaggio 10.2.1.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 5 e^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $5 e^{\frac{5}{2}}$ da $7 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$y = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$ .

$(e^{\frac{5}{2}}, 2 e^{\frac{5}{2}})$ è un massimo locale

Passaggio 12