Calcolo Esempi

$g (x) = - \frac{24 x}{x^{2} + 16}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{24 x}{x^{2} + 16}$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ .

$- 24 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

$- 24 \frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 24 \frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x^{2} + 16$ per $1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- 24 \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.9

$- 24$ e $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 24 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(24) (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{24 (- x^{2}) + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 1.11.2.2

Moltiplica $24$ per $16$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} + 384) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} + 384) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2 \cdot 2}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} + 384) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 24 x^{2} + 384$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [384]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $- 24$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.6

Poiché $384$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $384$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x + 0) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.7

Somma $- 48 x$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 16$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 16$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) (2 (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (2 x + \frac{d}{d x} (16)))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.4

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (2 x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 16$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) (2 \cdot ((x^{2} + 16) x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.5.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1

Moltiplica $\frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ per $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + 0$

Passaggio 2.5.7.2

Somma $- \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$g'' (x) = - \frac{- 48 {(x^{2} + 16)}^{2} x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.2

Riscrivi ${(x^{2} + 16)}^{2}$ come $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 ((x^{2} + 16) (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.3

Espandi $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2} (x^{2} + 16) + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.4.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.4.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.4.1.2

Sposta $16$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.4.1.3

Moltiplica $16$ per $16$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + 16 x^{2} + 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.4.2

Somma $16 x^{2}$ e $16 x^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = - \frac{(- 48 x^{4} - 48 (32 x^{2}) - 48 \cdot 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.6.1

Moltiplica $32$ per $- 48$ .

$g'' (x) = - \frac{(- 48 x^{4} - 1536 x^{2} - 48 \cdot 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.6.2

Moltiplica $- 48$ per $256$ .

$g'' (x) = - \frac{(- 48 x^{4} - 1536 x^{2} - 12288) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{4} x - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x \cdot x^{4}) - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x \cdot x^{4}) - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.8.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{1 + 4} - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 (x \cdot x^{2}) - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 (x \cdot x^{2}) - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.8.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{1 + 2} - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.9.1

Moltiplica $- 24$ per $- 4$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.9.2

Moltiplica $- 4$ per $384$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.10

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.10.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.10.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{2 + 1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.10.2

Somma $2$ e $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.11

Espandi $(96 x^{2} - 1536) (x^{3} + 16 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{2} (x^{3} + 16 x) - 1536 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{2} x^{3} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{2} x^{3} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.12.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.12.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 (x^{3} x^{2}) + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.12.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{3 + 2} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.12.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.12.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 x^{2} x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.12.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.12.1.3.1

Sposta $x$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 (x \cdot x^{2})) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.12.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 (x \cdot x^{2})) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.12.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 x^{1 + 2}) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.12.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 x^{3}) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.12.1.4

Moltiplica $96$ per $16$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 1536 x^{3} - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.12.1.5

Moltiplica $16$ per $- 1536$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 1536 x^{3} - 1536 x^{3} - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.12.2

Sottrai $1536 x^{3}$ da $1536 x^{3}$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 0 - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.1.12.3

Somma $96 x^{5}$ e $0$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.2

Somma $- 48 x^{5}$ e $96 x^{5}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3.3

Sottrai $24576 x$ da $- 12288 x$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x^{5} - 1536 x^{3} - 36864 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Scomponi $48 x$ da $48 x^{5} - 1536 x^{3} - 36864 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1

Scomponi $48 x$ da $48 x^{5}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4}) - 1536 x^{3} - 36864 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.2

Scomponi $48 x$ da $- 1536 x^{3}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4}) + 48 x (- 32 x^{2}) - 36864 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.3

Scomponi $48 x$ da $- 36864 x$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4}) + 48 x (- 32 x^{2}) + 48 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.4

Scomponi $48 x$ da $48 x (x^{4}) + 48 x (- 32 x^{2})$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 48 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.1.5

Scomponi $48 x$ da $48 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 48 x (- 768)$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x ({(x^{2})}^{2} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (u^{2} - 32 u - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.4

Scomponi $u^{2} - 32 u - 768$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 768$ e la cui somma è $- 32$ .

$- 48, 16$

Passaggio 2.6.4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$g'' (x) = - \frac{48 x ((u - 48) (u + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 16$ e ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Scomponi $x^{2} + 16$ da $48 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)$ .

$g'' (x) = - \frac{(x^{2} + 16) (48 x (x^{2} - 48))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.6.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 16$ da ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{(x^{2} + 16) (48 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$g'' (x) = - \frac{(x^{2} + 16) (48 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 2.6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{24 x}{x^{2} + 16}$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ .

$f' (x) = - 24 \frac{d}{d x} \frac{x}{x^{2} + 16}$

Passaggio 4.1.2

$f' (x) = - 24 \frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $x^{2} + 16$ per $1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = - 24 \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.9

$- 24$ e $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 24 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{(24) (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = - \frac{24 (- x^{2}) + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$f' (x) = - \frac{- 24 x^{2} + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.11.2.2

Moltiplica $24$ per $16$ .

$f' (x) = - \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 24 x^{2} + 384 = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $384$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 24 x^{2} = - 384$

Passaggio 5.3.2

Dividi per $- 24$ ciascun termine in $- 24 x^{2} = - 384$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $- 24$ ciascun termine in $- 24 x^{2} = - 384$ .

$\frac{- 24 x^{2}}{- 24} = \frac{- 384}{- 24}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 24 x^{2}}{- 24} = \frac{- 384}{- 24}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 384}{- 24}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi $- 384$ per $- 24$ .

$x^{2} = 16$

Passaggio 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 5.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 4$

Passaggio 5.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 4$

Passaggio 5.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 4$

Passaggio 5.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 4, - 4$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 4, - 4$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{48 (4) ({(4)}^{2} - 48)}{{({(4)}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $48$ per $4$ .

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{{(4^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{{(16 + 16)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $16$ e $16$ .

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{32^{3}}$

Passaggio 9.2.3

Eleva $32$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{32768}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{192 (16 - 48)}{32768}$

Passaggio 9.3.2

Sottrai $48$ da $16$ .

$- \frac{192 \cdot - 32}{32768}$

Passaggio 9.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $192$ per $- 32$ .

$- \frac{- 6144}{32768}$

Passaggio 9.4.2

Elimina il fattore comune di $- 6144$ e $32768$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Scomponi $2048$ da $- 6144$ .

$- \frac{2048 (- 3)}{32768}$

Passaggio 9.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.2.1

Scomponi $2048$ da $32768$ .

$- \frac{2048 \cdot - 3}{2048 \cdot 16}$

Passaggio 9.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2048 \cdot - 3}{2048 \cdot 16}$

Passaggio 9.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{- 3}{16}$

Passaggio 9.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{3}{16}$

Passaggio 9.5

Moltiplica $- - \frac{3}{16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{3}{16})$

Passaggio 9.5.2

Moltiplica $\frac{3}{16}$ per $1$ .

$\frac{3}{16}$

Passaggio 10

$x = 4$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$g (4) = - \frac{24 (4)}{{(4)}^{2} + 16}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $24$ per $4$ .

$g (4) = - \frac{96}{4^{2} + 16}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$g (4) = - \frac{96}{16 + 16}$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $16$ e $16$ .

$g (4) = - \frac{96}{32}$

Passaggio 11.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Dividi $96$ per $32$ .

$g (4) = - 1 \cdot 3$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$g (4) = - 3$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $- 3$ .

$y = - 3$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{48 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 48)}{{({(- 4)}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $48$ per $- 4$ .

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{{({(- 4)}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{{(16 + 16)}^{3}}$

Passaggio 13.2.2

Somma $16$ e $16$ .

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{32^{3}}$

Passaggio 13.2.3

Eleva $32$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{32768}$

Passaggio 13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{- 192 (16 - 48)}{32768}$

Passaggio 13.3.2

Sottrai $48$ da $16$ .

$- \frac{- 192 \cdot - 32}{32768}$

Passaggio 13.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Moltiplica $- 192$ per $- 32$ .

$- \frac{6144}{32768}$

Passaggio 13.4.2

Elimina il fattore comune di $6144$ e $32768$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.1

Scomponi $2048$ da $6144$ .

$- \frac{2048 (3)}{32768}$

Passaggio 13.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.2.1

Scomponi $2048$ da $32768$ .

$- \frac{2048 \cdot 3}{2048 \cdot 16}$

Passaggio 13.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2048 \cdot 3}{2048 \cdot 16}$

Passaggio 13.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3}{16}$

Passaggio 14

$x = - 4$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 4$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$g (- 4) = - \frac{24 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 16}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Moltiplica $24$ per $- 4$ .

$g (- 4) = - \frac{- 96}{{(- 4)}^{2} + 16}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$g (- 4) = - \frac{- 96}{16 + 16}$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $16$ e $16$ .

$g (- 4) = - \frac{- 96}{32}$

Passaggio 15.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Dividi $- 96$ per $32$ .

$g (- 4) = 3$

Passaggio 15.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$g (- 4) = 3$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $g (x) = - \frac{24 x}{x^{2} + 16}$ .

$(4, - 3)$ è un minimo locale

$(- 4, 3)$ è un massimo locale

Passaggio 17