Calcolo Esempi

$f (x) = x + \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Passaggio 2.3

Sottrai $\sin (x)$ da $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$1 + \cos (x) = 0$

Passaggio 4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = - 1$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 7

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 8

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 9

La soluzione dell'equazione $x = π$ .

$x = π, π$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \sin (π)$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 11.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \sin (0)$

Passaggio 11.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 0$

Passaggio 11.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$

Passaggio 12

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

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Passaggio 12.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

Passaggio 12.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, π)$ nella derivata prima $1 + \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 12.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

Passaggio 12.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 12.2.2.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f' (0) = 1 + 1$

Passaggio 12.2.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f' (0) = 2$

Passaggio 12.2.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 12.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(π, \infty)$ nella derivata prima $1 + \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 12.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

Passaggio 12.3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 12.3.2.1

Calcola $\cos (6)$ .

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

Passaggio 12.3.2.2

Somma $1$ e $0.96017028$ .

$f' (6) = 1.96017028$

Passaggio 12.3.2.3

La risposta finale è $1.96017028$ .

$1.96017028$

Passaggio 12.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = π$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 12.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = x + \sin (x)$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 13