Calcolo Esempi

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = y - 1$ e $g (y) = y^{2} - y + 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $y^{2} - y + 1$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Somma $2 y - 1$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Espandi $(- y + 1) (2 y - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $- y \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.1.4.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2 y$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.2

Somma $y$ e $2 y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Combina i termini opposti in $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ .

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Passaggio 1.3.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2.2

Somma $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Sottrai $2 y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.4

Somma $- y$ e $3 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Scomponi $y$ da $- y^{2} + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Scomponi $y$ da $y (- y) + y \cdot 2$ .

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.7

Riscrivi $- (y - 2)$ come $- 1 (y - 2)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = - 1$ e $g (y) = \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ .

$g'' (y) = - \frac{d}{d y} \cdot \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.2

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{({(y^{2} - y + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(y^{2} - y + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = y - 2$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y \frac{d}{d y} (y - 2) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 2)) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (1 + \frac{d}{d y} (- 2)) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.5.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.5.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + (y - 2) \cdot 1) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.5.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Moltiplica $y - 2$ per $1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + y - 2) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.5.6.2

Somma $y$ e $y$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = y^{2} - y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y^{2} - y + 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (2 u \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2} - y + 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (2 (y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.7.2

Scomponi $y^{2} - y + 1$ da ${(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Scomponi $y^{2} - y + 1$ da ${(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2)$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.7.2.2

Scomponi $y^{2} - y + 1$ da $- 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1])$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) + (y^{2} - y + 1) (- 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.7.2.3

Scomponi $y^{2} - y + 1$ da $(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) + (y^{2} - y + 1) (- 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]))$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Scomponi $y^{2} - y + 1$ da ${(y^{2} - y + 1)}^{4}$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{(y^{2} - y + 1) {(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.8.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- y) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y + \frac{d}{d y} (- y) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.14

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.15

Somma $2 y - 1$ e $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Passaggio 2.16

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.17

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Moltiplica $\frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ per $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + 0$

Passaggio 2.17.2

Somma $- \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$ e $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.1

Espandi $(y^{2} - y + 1) (2 y - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$g'' (y) = - \frac{y^{2} (2 y) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{2} y + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.2.2.1

Sposta $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (y \cdot y^{2}) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.2.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.2.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (y \cdot y^{2}) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{1 + 2} + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 \cdot y^{2} - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.2.5.1

Sposta $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.7

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.8

Moltiplica $2 y$ per $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 2 y + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.9

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 2 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.3

Sottrai $2 y^{2}$ da $- 2 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 2 y + 2 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.4

Somma $2 y$ e $2 y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.5.1

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.5.1.1

Sposta $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 (y \cdot y) - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.5.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y^{2} - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.5.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y^{2} + 4 y) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.6

Espandi $(- 2 y^{2} + 4 y) (2 y - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y - 1) + 4 y (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.7.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{2} y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.7.1.2.1

Sposta $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 (y \cdot y^{2})) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.7.1.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 (y \cdot y^{2})) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{1 + 2}) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{3}) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 y \cdot y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.7.1.6.1

Sposta $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 (y \cdot y)) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 y^{2}) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.7

Moltiplica $4$ per $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 8 y^{2} + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.8

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 8 y^{2} - 4 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.2

Somma $2 y^{2}$ e $8 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} - 4 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.2

Combina i termini opposti in $2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} - 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.2.1

Sottrai $4 y$ da $4 y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.2.2

Somma $2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2}$ e $0$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.3

Sottrai $4 y^{3}$ da $2 y^{3}$ .

$g'' (y) = - \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 + 10 y^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.4

Somma $- 4 y^{2}$ e $10 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{- 2 y^{3} + 6 y^{2} - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.3

Scomponi $2$ da $- 2 y^{3} + 6 y^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 y^{3}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 6 y^{2} - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.3.2

Scomponi $2$ da $6 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2}) - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.3.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2}) + 2 (- 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.3.4

Scomponi $2$ da $2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2})$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3} + 3 y^{2}) + 2 (- 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.3.5

Scomponi $2$ da $2 (- y^{3} + 3 y^{2}) + 2 (- 1)$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3} + 3 y^{2} - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.4

Scomponi $- 1$ da $- y^{3}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3}) + 3 y^{2} - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.5

Scomponi $- 1$ da $3 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3}) - (- 3 y^{2}) - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.6

Scomponi $- 1$ da $- (y^{3}) - (- 3 y^{2})$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.7

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.8

Scomponi $- 1$ da $- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1 (1)$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2} + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.9

Riscrivi $- (y^{3} - 3 y^{2} + 1)$ come $- 1 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (- 1 (y^{3} - 3 y^{2} + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g'' (y) = \frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.18.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g'' (y) = 1 (\frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}})$

Passaggio 2.18.12

Moltiplica $\frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$ per $1$ .

$g'' (y) = \frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $y^{2} - y + 1$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.11

Somma $2 y - 1$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.2

Espandi $(- y + 1) (2 y - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $- y \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.4.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2 y$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.2

Somma $y$ e $2 y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.2

Combina i termini opposti in $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.2.2

Somma $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.3

Sottrai $2 y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.4

Somma $- y$ e $3 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Scomponi $y$ da $- y^{2} + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.3

Scomponi $y$ da $y (- y) + y \cdot 2$ .

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.7

Riscrivi $- (y - 2)$ come $- 1 (y - 2)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (y) = - \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $g (y)$ rispetto a $y$ è $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$y (y - 2) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y = 0$

$y - 2 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $y$ uguale a $0$ .

$y = 0$

Passaggio 5.3.3

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $y - 2$ uguale a $0$ .

$y - 2 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $y (y - 2) = 0$ vera.

$y = 0, 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$y = 0, 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $y = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 ({(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1)}{{({(0)}^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2 (0 - 3 \cdot 0^{2} + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2 (0 - 3 \cdot 0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$\frac{2 (0 + 0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.1.4

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{2 (0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 - (0) + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 + 0 + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.4

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Passaggio 9.2.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 \cdot 1}{1}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2}{1}$

Passaggio 9.3.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10

$y = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$y = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $y = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $y$ con $0$ nell'espressione.

$g (0) = \frac{(0) - 1}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0^{2} - (0) + 1}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0 - (0) + 1}$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0 + 0 + 1}$

Passaggio 11.2.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0 + 1}$

Passaggio 11.2.2.4

Somma $0$ e $1$ .

$g (0) = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 11.2.3

Dividi $- 1$ per $1$ .

$g (0) = - 1$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $y = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 ({(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1)}{{({(2)}^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 (8 - 3 \cdot 2^{2} + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 (8 - 3 \cdot 4 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{2 (8 - 12 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.4

Sottrai $12$ da $8$ .

$\frac{2 (- 4 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.5

Somma $- 4$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(4 - (2) + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(4 - 2 + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.2.3

Sottrai $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(2 + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{3^{3}}$

Passaggio 13.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{27}$

Passaggio 13.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{- 6}{27}$

Passaggio 13.3.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$\frac{3 (- 2)}{27}$

Passaggio 13.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

Passaggio 13.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

Passaggio 13.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{9}$

Passaggio 13.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{9}$

Passaggio 14

$y = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$y = 2$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $y = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $y$ con $2$ nell'espressione.

$g (2) = \frac{(2) - 1}{{(2)}^{2} - (2) + 1}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$g (2) = \frac{1}{2^{2} - (2) + 1}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$g (2) = \frac{1}{4 - (2) + 1}$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$g (2) = \frac{1}{4 - 2 + 1}$

Passaggio 15.2.2.3

Sottrai $2$ da $4$ .

$g (2) = \frac{1}{2 + 1}$

Passaggio 15.2.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$g (2) = \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$ .

$(0, - 1)$ è un minimo locale

$(2, \frac{1}{3})$ è un massimo locale

Passaggio 17