Calcolo Esempi

$u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $100 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $100 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d y} [40 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $40$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $40 y$ rispetto a $y$ è $40 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $40$ per $1$ .

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 1.3

Poiché $- 5 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y^{2}$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 + 40 + 0 - 4 y$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Somma $0$ e $40$ .

$40 + 0 - 4 y$

Passaggio 1.5.1.2

Somma $40$ e $0$ .

$40 - 4 y$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$- 4 y + 40$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 y + 40$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [40]$ .

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (- 4 y) + \frac{d}{d y} (40)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 4 y$ rispetto a $y$ è $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$u'' (y) = - 4 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (40)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$u'' (y) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (40)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u'' (y) = - 4 + \frac{d}{d y} (40)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $40$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $40$ rispetto a $y$ è $0$ .

$u'' (y) = - 4 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 4$ e $0$ .

$u'' (y) = - 4$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 y + 40 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $100 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $100 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d y} [40 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $40$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $40 y$ rispetto a $y$ è $40 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $40$ per $1$ .

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $- 5 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y^{2}$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 + 40 + 0 - 4 y$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1.1

Somma $0$ e $40$ .

$40 + 0 - 4 y$

Passaggio 4.1.5.1.2

Somma $40$ e $0$ .

$40 - 4 y$

Passaggio 4.1.5.2

Riordina i termini.

$f' (y) = - 4 y + 40$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $u (y)$ rispetto a $y$ è $- 4 y + 40$ .

$- 4 y + 40$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 y + 40 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 y + 40 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $40$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y = - 40$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 y = - 40$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 y = - 40$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 40}{- 4}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $- 40$ per $- 4$ .

$y = 10$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$y = 10$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $y = 10$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4$

Passaggio 9

$y = 10$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$y = 10$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $y = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $y$ con $10$ nell'espressione.

$u (10) = 100 x + 40 (10) - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Moltiplica $40$ per $10$ .

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

Passaggio 10.2.1.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 \cdot 100$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $100$ .

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 200$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $200$ da $400$ .

$u (10) = 100 x - 5 x^{2} + 200$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $100 x - 5 x^{2} + 200$ .

$y = 100 x - 5 x^{2} + 200$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ .

$(10, 100 x - 5 x^{2} + 200)$ è un massimo locale

Passaggio 12