Calcolo Esempi

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ come funzione.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riordina i termini.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2.4.2.2

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2.4.2.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 5

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 6

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 8

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 8.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 8.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8.2.5

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9

Imposta $\sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta $\sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi $\sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 9.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 9.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 9.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9.2.6

La soluzione dell'equazione $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2})) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.1.4

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.1.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2 - 2 \cdot 1$

Passaggio 12.1.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 - 2$

Passaggio 12.2

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$- 4$

Passaggio 13

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 14.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 14.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0^{2}$

Passaggio 14.2.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0$

Passaggio 14.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 0$

Passaggio 14.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Passaggio 14.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 \cos (2 (\frac{3 π}{2})) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (3 π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.1.5

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.1.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 16.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2 - 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 16.1.8

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 - 2 \cdot - 1$

Passaggio 16.1.8.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 16.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 17

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Passaggio 17.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - \frac{π}{2})$ nella derivata prima $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = \sin (2 (- 4)) + 2 \cos (- 4)$

Passaggio 17.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = \sin (- 8) + 2 \cos (- 4)$

Passaggio 17.2.2.1.2

Calcola $\sin (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cos (- 4)$

Passaggio 17.2.2.1.3

Calcola $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cdot - 0.65364362$

Passaggio 17.2.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 - 1.30728724$

Passaggio 17.2.2.2

Sottrai $1.30728724$ da $- 0.98935824$ .

$f' (- 4) = - 2.29664548$

Passaggio 17.2.2.3

La risposta finale è $- 2.29664548$ .

$- 2.29664548$

Passaggio 17.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ nella derivata prima $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \sin (2 (0)) + 2 \cos (0)$

Passaggio 17.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f' (0) = \sin (0) + 2 \cos (0)$

Passaggio 17.3.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Passaggio 17.3.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 17.3.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Passaggio 17.3.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f' (0) = 2$

Passaggio 17.3.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 17.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dell'intervallo $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ nella derivata prima $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = \sin (2 (3)) + 2 \cos (3)$

Passaggio 17.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (3) = \sin (6) + 2 \cos (3)$

Passaggio 17.4.2.1.2

Calcola $\sin (6)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cos (3)$

Passaggio 17.4.2.1.3

Calcola $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cdot - 0.98999249$

Passaggio 17.4.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 0.98999249$ .

$f' (3) = - 0.27941549 - 1.97998499$

Passaggio 17.4.2.2

Sottrai $1.97998499$ da $- 0.27941549$ .

$f' (3) = - 2.25940049$

Passaggio 17.4.2.3

La risposta finale è $- 2.25940049$ .

$- 2.25940049$

Passaggio 17.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $7$ , dell'intervallo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ nella derivata prima $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = \sin (2 (7)) + 2 \cos (7)$

Passaggio 17.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.5.2.1.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$f' (7) = \sin (14) + 2 \cos (7)$

Passaggio 17.5.2.1.2

Calcola $\sin (14)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cos (7)$

Passaggio 17.5.2.1.3

Calcola $\cos (7)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cdot 0.75390225$

Passaggio 17.5.2.1.4

Moltiplica $2$ per $0.75390225$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 1.5078045$

Passaggio 17.5.2.2

Somma $0.99060735$ e $1.5078045$ .

$f' (7) = 2.49841186$

Passaggio 17.5.2.3

La risposta finale è $2.49841186$ .

$2.49841186$

Passaggio 17.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - \frac{π}{2}$ , allora $x = - \frac{π}{2}$ è un minimo locale.

$x = - \frac{π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 17.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = \frac{π}{2}$ , allora $x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale.

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 17.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{3 π}{2}$ , allora $x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale.

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 17.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ è un minimo locale

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale

$x = - \frac{π}{2}$ è un minimo locale

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 18