Calcolo Esempi

$y = 3 x^{3} - 36 x - 1$

Passaggio 1

Scrivi $y = 3 x^{3} - 36 x - 1$ come funzione.

$f (x) = 3 x^{3} - 36 x - 1$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} - 36 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$9 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 x^{2} - 36 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $9 x^{2} - 36$ e $0$ .

$9 x^{2} - 36$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} - 36$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (- 36)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $18 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 18 x$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$9 x^{2} - 36 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} - 36 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $9 x^{2} - 36$ e $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $9 x^{2} - 36$ .

$9 x^{2} - 36$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $9 x^{2} - 36 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$9 x^{2} - 36 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $36$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} = 36$

Passaggio 6.3

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{2} = 36$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{2} = 36$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{36}{9}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{36}{9}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{36}{9}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi $36$ per $9$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 6.5

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 6.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 6.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 6.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 6.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 2, - 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$18 (2)$

Passaggio 10

Moltiplica $18$ per $2$ .

$36$

Passaggio 11

$x = 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 3 {(2)}^{3} - 36 \cdot 2 - 1$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = 3 \cdot 8 - 36 \cdot 2 - 1$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f (2) = 24 - 36 \cdot 2 - 1$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- 36$ per $2$ .

$f (2) = 24 - 72 - 1$

Passaggio 12.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Sottrai $72$ da $24$ .

$f (2) = - 48 - 1$

Passaggio 12.2.2.2

Sottrai $1$ da $- 48$ .

$f (2) = - 49$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $- 49$ .

$y = - 49$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$18 (- 2)$

Passaggio 14

Moltiplica $18$ per $- 2$ .

$- 36$

Passaggio 15

$x = - 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{3} - 36 \cdot - 2 - 1$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2) = 3 \cdot - 8 - 36 \cdot - 2 - 1$

Passaggio 16.2.1.2

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$f (- 2) = - 24 - 36 \cdot - 2 - 1$

Passaggio 16.2.1.3

Moltiplica $- 36$ per $- 2$ .

$f (- 2) = - 24 + 72 - 1$

Passaggio 16.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Somma $- 24$ e $72$ .

$f (- 2) = 48 - 1$

Passaggio 16.2.2.2

Sottrai $1$ da $48$ .

$f (- 2) = 47$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $47$ .

$y = 47$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x^{3} - 36 x - 1$ .

$(2, - 49)$ è un minimo locale

$(- 2, 47)$ è un massimo locale

Passaggio 18