Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} + 120 x - 300$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 9 x^{2} + 120 x - 300$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $120$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $120 x$ rispetto a $x$ è $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $120$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 120 + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 300$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 300$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 120 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $- 3 x^{2} + 18 x + 120$ e $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 120$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 18 x + 120$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 x$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (120)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (120)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $18$ per $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 + \frac{d}{d x} (120)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $120$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $120$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 6 x + 18$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 x^{2} + 18 x + 120 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 9 x^{2} + 120 x - 300$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $120$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $120 x$ rispetto a $x$ è $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $120$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 120 + \frac{d}{d x} [- 300]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $- 300$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 300$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 120 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $- 3 x^{2} + 18 x + 120$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 120$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 18 x + 120$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 120$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 18 x + 120 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 120 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x^{2} + 18 x + 120$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 120 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $- 3$ da $18 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 6 x) + 120 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $- 3$ da $120$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 6 x) - 3 \cdot - 40 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $- 3$ da $- 3 (x^{2}) - 3 (- 6 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 6 x) - 3 \cdot - 40 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $- 3$ da $- 3 (x^{2} - 6 x) - 3 (- 40)$ .

$- 3 (x^{2} - 6 x - 40) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 6 x - 40$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 40$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 10, 4$

Passaggio 5.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- 3 ((x - 10) (x + 4)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 (x - 10) (x + 4) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 3 (x - 10) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 10, - 4$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 10, - 4$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 10$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot 10 + 18$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 6$ per $10$ .

$- 60 + 18$

Passaggio 9.2

Somma $- 60$ e $18$ .

$- 42$

Passaggio 10

$x = 10$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 10$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f (10) = - {(10)}^{3} + 9 {(10)}^{2} + 120 (10) - 300$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f (10) = - 1 \cdot 1000 + 9 {(10)}^{2} + 120 (10) - 300$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1000$ .

$f (10) = - 1000 + 9 {(10)}^{2} + 120 (10) - 300$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$f (10) = - 1000 + 9 \cdot 100 + 120 (10) - 300$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $9$ per $100$ .

$f (10) = - 1000 + 900 + 120 (10) - 300$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $120$ per $10$ .

$f (10) = - 1000 + 900 + 1200 - 300$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $- 1000$ e $900$ .

$f (10) = - 100 + 1200 - 300$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 100$ e $1200$ .

$f (10) = 1100 - 300$

Passaggio 11.2.2.3

Sottrai $300$ da $1100$ .

$f (10) = 800$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $800$ .

$y = 800$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot - 4 + 18$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $- 6$ per $- 4$ .

$24 + 18$

Passaggio 13.2

Somma $24$ e $18$ .

$42$

Passaggio 14

$x = - 4$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 4$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = - {(- 4)}^{3} + 9 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4) - 300$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f (- 4) = 64 + 9 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4) - 300$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 64$ .

$f (- 4) = 64 + 9 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4) - 300$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f (- 4) = 64 + 9 \cdot 16 + 120 (- 4) - 300$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $9$ per $16$ .

$f (- 4) = 64 + 144 + 120 (- 4) - 300$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $120$ per $- 4$ .

$f (- 4) = 64 + 144 - 480 - 300$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $64$ e $144$ .

$f (- 4) = 208 - 480 - 300$

Passaggio 15.2.2.2

Sottrai $480$ da $208$ .

$f (- 4) = - 272 - 300$

Passaggio 15.2.2.3

Sottrai $300$ da $- 272$ .

$f (- 4) = - 572$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 572$ .

$y = - 572$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} + 120 x - 300$ .

$(10, 800)$ è un massimo locale

$(- 4, - 572)$ è un minimo locale

Passaggio 17