Calcolo Esempi

$f (x) = x^{- 4} \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 1.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

$x^{- 4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 1.3.2

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 1.4

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 1.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 1.4.2

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Riordina i termini.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 1.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 1.6.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 1.6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 1.6.2.4

$\ln (x)$ e $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 1.6.2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $\ln (x)$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{\ln (x)}{x^{5}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{5}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.5

$x^{5}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{5}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.6

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{4}}{1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.6.2.5

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{5 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.8.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.9

Scomponi $x^{4}$ da $x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica per $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.9.2

Scomponi $x^{4}$ da $- 5 \ln (x) x^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.9.3

Scomponi $x^{4}$ da $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{10}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.10.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.10.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - 4 \frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.11

$- 4$ e $\frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{- 10} (5 x^{4})$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 10} x^{4}$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $x^{- 10}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Sposta $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

Passaggio 2.3.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{4 - 10}$

Passaggio 2.3.6.3

Sottrai $10$ da $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 6}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.3.3

$- 5$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{- 5}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - \frac{5}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{- (4 - 20 \ln (x)) - 5}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{- 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Scomponi $- 1$ da $- 5 - (4 - 20 \ln (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1.1

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.5.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 1 (5) - (4 - 20 \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.5.1.3

Riscrivi $- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))$ come $- (5 + 4 - 20 \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{- (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.5.2

Somma $5$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- (9 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{9 - 20 \ln (x)}{x^{6}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 4.1.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

$x^{- 4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 4.1.3.2

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 4.1.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Riordina i termini.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 4.1.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 4.1.6.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 4.1.6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 4.1.6.2.4

$\ln (x)$ e $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 4.1.6.2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $\frac{1}{x^{5}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 5.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$- 4 \ln (x) = - 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \ln (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \ln (x) = - 1$ .

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\ln (x) = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.5

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5.6

Riscrivi $\ln (x) = \frac{1}{4}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4}} = x$

Passaggio 5.7

Riscrivi l'equazione come $x = e^{\frac{1}{4}}$ .

$x = e^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{5} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[5]{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $\sqrt[5]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 6.3

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 6.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = e^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = e^{\frac{1}{4}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{9 - 20 \ln (e^{\frac{1}{4}})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $\frac{1}{4}$ dall'esponente.

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \ln (e))}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Passaggio 9.1.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \cdot 1)}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Passaggio 9.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 9.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 20$ .

$- \frac{9 + 4 (- 5) \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Passaggio 9.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{9 + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Passaggio 9.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{9 - 5}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Passaggio 9.1.5

Sottrai $5$ da $9$ .

$- \frac{4}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Passaggio 9.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{1}{4}})}^{6}$ .

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Passaggio 9.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{4} \cdot 6}}$

Passaggio 9.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 6}}$

Passaggio 9.2.2.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

Passaggio 9.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

Passaggio 9.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 3}}$

Passaggio 9.2.3

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 10

$x = e^{\frac{1}{4}}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = e^{\frac{1}{4}}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = e^{\frac{1}{4}}$ .

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Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $e^{\frac{1}{4}}$ nell'espressione.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = {(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot - 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 11.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 11.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 11.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 11.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 11.2.3

Usa le regole del logaritmo per togliere $\frac{1}{4}$ dall'esponente.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

Passaggio 11.2.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)$

Passaggio 11.2.5

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 11.2.6

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{1}{4}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e \cdot 4}$

Passaggio 11.2.7

Sposta $4$ alla sinistra di $e$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4 e}$

Passaggio 11.2.8

La risposta finale è $\frac{1}{4 e}$ .

$y = \frac{1}{4 e}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{- 4} \ln (x)$ .

$(e^{\frac{1}{4}}, \frac{1}{4 e})$ è un massimo locale

Passaggio 13