Calcolo Esempi

f (x) = x^{4} - 4 x^{2}

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Step 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di

x^{4} - 4 x^{2}

$x^{4} - 4 x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Calcola

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché

$- 4$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 4 x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Moltiplica

$2$ per

$- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di

$4 x^{3} - 8 x$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Calcola

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché

$4$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$4 x^{3}$ rispetto a

$x$ è

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Moltiplica

$3$ per

$4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Calcola

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché

$- 8$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 8 x$ rispetto a

$x$ è

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \cdot 1$

Moltiplica

$- 8$ per

$1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8$

Step 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a

$0$ e risolvi.

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Step 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di

$x^{4} - 4 x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Calcola

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché

$- 4$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 4 x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{2}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (2 x)$

Moltiplica

$2$ per

$- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

La derivata prima di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 5

Poni la derivata prima uguale a

$0$ quindi risolvi l'equazione

$4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a

$0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Scomponi

$4 x$ da

$4 x^{3} - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi

$4 x$ da

$4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Scomponi

$4 x$ da

$- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Scomponi

$4 x$ da

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Imposta

$x$ uguale a

$0$ .

$x = 0$

Imposta

$x^{2} - 2$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta

$x^{2} - 2$ uguale a

$0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Risolvi

$x^{2} - 2 = 0$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Somma

$2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Trova la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2}$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Ora, utilizza il valore negativo del

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$4 x (x^{2} - 2) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 8

Calcola la derivata seconda per

$x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(0)}^{2} - 8$

Step 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$12 \cdot 0 - 8$

Moltiplica

$12$ per

$0$ .

$0 - 8$

Sottrai

$8$ da

$0$ .

$- 8$

Step 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Step 11

Trova il valore di y quando

$x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile

$x$ con

$0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Moltiplica

$- 4$ per

$0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Somma

$0$ e

$0$ .

$f (0) = 0$

La risposta finale è

$0$ .

$y = 0$

Step 12

Calcola la derivata seconda per

$x = \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(\sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi

${\sqrt{2}}^{2}$ come

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2}$ come

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Riscrivi l'espressione.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Calcola l'esponente.

$12 \cdot 2 - 8$

Moltiplica

$12$ per

$2$ .

$24 - 8$

Sottrai

$8$ da

$24$ .

$16$

Step 14

$x = \sqrt{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \sqrt{2}$ è un minimo locale

Step 15

Trova il valore di y quando

$x = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile

$x$ con

$\sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi

${\sqrt{2}}^{4}$ come

$2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2}$ come

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

$\frac{1}{2}$ e

$4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Elimina il fattore comune di

$4$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Dividi

$2$ per

$1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Riscrivi

${\sqrt{2}}^{2}$ come

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2}$ come

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Moltiplica

$- 4$ per

$2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8$

Sottrai

$8$ da

$4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4$

La risposta finale è

$- 4$ .

$y = - 4$

Step 16

Calcola la derivata seconda per

$x = - \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(- \sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a

$- \sqrt{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Moltiplica

${\sqrt{2}}^{2}$ per

$1$ .

$12 {\sqrt{2}}^{2} - 8$

Riscrivi

${\sqrt{2}}^{2}$ come

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2}$ come

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Riscrivi l'espressione.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Calcola l'esponente.

$12 \cdot 2 - 8$

Moltiplica

$12$ per

$2$ .

$24 - 8$

Sottrai

$8$ da

$24$ .

$16$

Step 18

$x = - \sqrt{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \sqrt{2}$ è un minimo locale

Step 19

Trova il valore di y quando

$x = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a

$- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Moltiplica

${\sqrt{2}}^{4}$ per

$1$ .

$f (- \sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Riscrivi

${\sqrt{2}}^{4}$ come

$2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2}$ come

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

$\frac{1}{2}$ e

$4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Elimina il fattore comune di

$4$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Dividi

$2$ per

$1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Applica la regola del prodotto a

$- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Moltiplica

${\sqrt{2}}^{2}$ per

$1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Riscrivi

${\sqrt{2}}^{2}$ come

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2}$ come

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Moltiplica

$- 4$ per

$2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 8$

Sottrai

$8$ da

$4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4$

La risposta finale è

$- 4$ .

$y = - 4$

Step 20

Questi sono gli estremi locali per

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ .

$(0, 0)$ è un massimo locale

$(\sqrt{2}, - 4)$ è un minimo locale

$(- \sqrt{2}, - 4)$ è un minimo locale

Step 21