Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{3} - 60 x + 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{3} - 60 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60 x$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 x^{2} - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$15 x^{2} - 60 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$15 x^{2} - 60 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $15 x^{2} - 60$ e $0$ .

$15 x^{2} - 60$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{2} - 60$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{2}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $15$ .

$f'' (x) = 30 x + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 30 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $30 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 30 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$15 x^{2} - 60 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{3} - 60 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60 x$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 60 + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 60 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $15 x^{2} - 60$ e $0$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 60$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $15 x^{2} - 60$ .

$15 x^{2} - 60$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $15 x^{2} - 60 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$15 x^{2} - 60 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $60$ a entrambi i lati dell'equazione.

$15 x^{2} = 60$

Passaggio 5.3

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 x^{2} = 60$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 x^{2} = 60$ .

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{60}{15}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{60}{15}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{60}{15}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $60$ per $15$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 5.5

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 5.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 5.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 5.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 2, - 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$30 (2)$

Passaggio 9

Moltiplica $30$ per $2$ .

$60$

Passaggio 10

$x = 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 5 {(2)}^{3} - 60 \cdot 2 + 5$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = 5 \cdot 8 - 60 \cdot 2 + 5$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $5$ per $8$ .

$f (2) = 40 - 60 \cdot 2 + 5$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 60$ per $2$ .

$f (2) = 40 - 120 + 5$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $120$ da $40$ .

$f (2) = - 80 + 5$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 80$ e $5$ .

$f (2) = - 75$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 75$ .

$y = - 75$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$30 (- 2)$

Passaggio 13

Moltiplica $30$ per $- 2$ .

$- 60$

Passaggio 14

$x = - 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 5 {(- 2)}^{3} - 60 \cdot - 2 + 5$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2) = 5 \cdot - 8 - 60 \cdot - 2 + 5$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $5$ per $- 8$ .

$f (- 2) = - 40 - 60 \cdot - 2 + 5$

Passaggio 15.2.1.3

Moltiplica $- 60$ per $- 2$ .

$f (- 2) = - 40 + 120 + 5$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 40$ e $120$ .

$f (- 2) = 80 + 5$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $80$ e $5$ .

$f (- 2) = 85$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $85$ .

$y = 85$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 5 x^{3} - 60 x + 5$ .

$(2, - 75)$ è un minimo locale

$(- 2, 85)$ è un massimo locale

Passaggio 17