Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 - 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 1.3.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 1.3.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.3.9

$- 36$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.3.10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.3.11

Scomponi $3$ da $- 36$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.12.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 1.3.12.2

Elimina il fattore comune.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 2.2.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.9.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Passaggio 2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Passaggio 2.2.11

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x^{- \frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.1

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Passaggio 2.2.13.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13.4

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.14

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Passaggio 2.2.15

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$f'' (x) = 0 + 12 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Passaggio 2.2.16

$12$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{12 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.2.17

Moltiplica $12$ per $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{24}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.2.18

Scomponi $3$ da $24$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.2.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.19.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (x^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 2.2.19.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.2.19.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 0 + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = 3 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 - 36 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 4.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 4.1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 4.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 4.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 4.1.3.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 4.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.3.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 4.1.3.9

$- 36$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 4.1.3.10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.3.11

Scomponi $3$ da $- 36$ .

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.12.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 4.1.3.12.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Passaggio 5.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $x^{\frac{2}{3}}$ ciascun termine in $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ per $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ nel numeratore.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 12 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ .

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Dividi $x^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 12}{- 3}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Dividi $- 12$ per $- 3$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Passaggio 5.5.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4.1.1.2

Semplifica.

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Semplifica $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4.2.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm 2^{3}$

Passaggio 5.5.4.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$x = \pm 8$

Passaggio 5.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 8$

Passaggio 5.5.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 8$

Passaggio 5.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 8, - 8$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$3 - \frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.3.3.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 8, - 8, 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 8$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{8}{{(8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta $8^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{{(8)}^{\frac{5}{3}} \cdot 8^{- 1}}$

Passaggio 9.2

Moltiplica ${(8)}^{\frac{5}{3}}$ per $8^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1}}$

Passaggio 9.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Passaggio 9.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Passaggio 9.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Passaggio 9.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 3}{3}}}$

Passaggio 9.2.5.2

Sottrai $3$ da $5$ .

$\frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 9.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 9.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 9.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 9.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 9.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 10

$x = 8$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 8$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f (8) = 3 (8) - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f (8) = 24 - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 11.2.1.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$f (8) = 24 - 36 {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 11.2.1.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 11.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

Passaggio 11.2.1.5

Calcola l'esponente.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $- 36$ per $2$ .

$f (8) = 24 - 72$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $72$ da $24$ .

$f (8) = - 48$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 48$ .

$y = - 48$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 8$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{8}{{(- 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Riscrivi $- 8$ come ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{8}{{({(- 2)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 13.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 13.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{{(- 2)}^{5}}$

Passaggio 13.1.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{8}{- 32}$

Passaggio 13.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $- 32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$\frac{8 (1)}{- 32}$

Passaggio 13.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.2.1

Scomponi $8$ da $- 32$ .

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

Passaggio 13.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

Passaggio 13.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 4}$

Passaggio 13.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 14

$x = - 8$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 8$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f (- 8) = 3 (- 8) - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 15.2.1.2

Riscrivi $- 8$ come ${(- 2)}^{3}$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 15.2.1.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 15.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 15.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

Passaggio 15.2.1.5

Calcola l'esponente.

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

Passaggio 15.2.1.6

Moltiplica $- 36$ per $- 2$ .

$f (- 8) = - 24 + 72$

Passaggio 15.2.2

Somma $- 24$ e $72$ .

$f (- 8) = 48$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $48$ .

$y = 48$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{8}{{(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{8}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 17.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 17.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 17.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{0^{5}}$

Passaggio 17.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{8}{0}$

Passaggio 17.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 18

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Passaggio 18.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 10$ , dall'intervallo $(- \infty, - 8)$ nella derivata prima $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 10$ nell'espressione.

$f' (- 10) = 3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2

La risposta finale è $3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dall'intervallo $(- 8, 0)$ nella derivata prima $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.3.2

La risposta finale è $3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dall'intervallo $(0, 8)$ nella derivata prima $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 3 - \frac{12}{{(4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (4) = 3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.4.2.2

La risposta finale è $3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $10$ , dall'intervallo $(8, \infty)$ nella derivata prima $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f' (10) = 3 - \frac{12}{{(10)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (10) = 3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.2

La risposta finale è $3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - 8$ , allora $x = - 8$ è un massimo locale.

$x = - 8$ è un massimo locale

Passaggio 18.7

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 18.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 8$ , allora $x = 8$ è un minimo locale.

$x = 8$ è un minimo locale

Passaggio 18.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - 8$ è un massimo locale

$x = 8$ è un minimo locale

$x = - 8$ è un massimo locale

$x = 8$ è un minimo locale

Passaggio 19