Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$15 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$15 x^{4} - 20 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{4} - 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 20$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 x^{2}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 20 x^{3}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $15 x^{4} - 20 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 20 x^{3}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $5 x^{3}$ da $15 x^{4} - 20 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $5 x^{3}$ da $15 x^{4}$ .

$5 x^{3} (3 x) - 20 x^{3} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $5 x^{3}$ da $- 20 x^{3}$ .

$5 x^{3} (3 x) + 5 x^{3} (- 4) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $5 x^{3}$ da $5 x^{3} (3 x) + 5 x^{3} (- 4)$ .

$5 x^{3} (3 x - 4) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$3 x - 4 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $3 x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $3 x - 4$ uguale a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $3 x - 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 4$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $5 x^{3} (3 x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$60 {(0)}^{3} - 60 {(0)}^{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$60 \cdot 0 - 60 {(0)}^{2}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $60$ per $0$ .

$0 - 60 {(0)}^{2}$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 60 \cdot 0$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 60$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dall'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $15 x^{4} - 20 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 20 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 20 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $15$ per $16$ .

$f' (- 2) = 240 - 20 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = 240 - 20 \cdot - 8$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $- 20$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = 240 + 160$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $240$ e $160$ .

$f' (- 2) = 400$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $400$ .

$400$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dall'intervallo $(0, \frac{4}{3})$ nella derivata prima $15 x^{4} - 20 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 15 {(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 20 {(1)}^{3}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $15$ per $1$ .

$f' (1) = 15 - 20 {(1)}^{3}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 15 - 20 \cdot 1$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$f' (1) = 15 - 20$

Passaggio 10.3.2.2

Sottrai $20$ da $15$ .

$f' (1) = - 5$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dall'intervallo $(\frac{4}{3}, \infty)$ nella derivata prima $15 x^{4} - 20 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 20 {(4)}^{3}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $15$ per $256$ .

$f' (4) = 3840 - 20 {(4)}^{3}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f' (4) = 3840 - 20 \cdot 64$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $- 20$ per $64$ .

$f' (4) = 3840 - 1280$

Passaggio 10.4.2.2

Sottrai $1280$ da $3840$ .

$f' (4) = 2560$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $2560$ .

$2560$

Passaggio 10.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{4}{3}$ , allora $x = \frac{4}{3}$ è un minimo locale.

$x = \frac{4}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 10.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{4}$ .

$x = 0$ è un massimo locale

$x = \frac{4}{3}$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = \frac{4}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 11