Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x + \frac{18}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + \frac{18}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{18}{x}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 + 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 + 18 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 + 18 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$2 - 18 x^{- 2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 18 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

$- 18$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{- 18}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 - \frac{18}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$- \frac{18}{x^{2}} + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{18}{x^{2}} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{18}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{18}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 18 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 18 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 18 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 18 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 18 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 18 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 18 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 18 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 18 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f'' (x) = - 18 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $- 2$ per $- 18$ .

$f'' (x) = 36 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{- 3} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$36$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{x^{3}} + 0$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $\frac{36}{x^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{36}{x^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{18}{x^{2}} + 2 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + \frac{18}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{18}{x})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{18}{x})$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{18}{x})$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (\frac{18}{x})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{18}{x}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 2 + 18 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 4.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 + 18 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 + 18 (- x^{- 2})$

Passaggio 4.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$f' (x) = 2 - 18 x^{- 2}$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 - 18 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1.1

$- 18$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{- 18}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.5.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 - \frac{18}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{18}{x^{2}} + 2$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{18}{x^{2}} + 2$ .

$- \frac{18}{x^{2}} + 2$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{18}{x^{2}} + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{18}{x^{2}} + 2 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{18}{x^{2}} = - 2$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, 1$

Passaggio 5.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $- \frac{18}{x^{2}} = - 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{18}{x^{2}} = - 2$ per $x^{2}$ .

$- \frac{18}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{18}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 18}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 18}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Passaggio 5.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 18 = - 2 x^{2}$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 x^{2} = - 18$ .

$- 2 x^{2} = - 18$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 18$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 18$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 2}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Dividi $- 18$ per $- 2$ .

$x^{2} = 9$

Passaggio 5.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 5.5.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 5.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 5.5.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 5.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{18}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 3, - 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{36}{{(3)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{36}{27}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $36$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $9$ da $36$ .

$\frac{9 (4)}{27}$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{3}$

Passaggio 10

$x = 3$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = 2 (3) + \frac{18}{3}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (3) = 6 + \frac{18}{3}$

Passaggio 11.2.1.2

Dividi $18$ per $3$ .

$f (3) = 6 + 6$

Passaggio 11.2.2

Somma $6$ e $6$ .

$f (3) = 12$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $12$ .

$y = 12$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{36}{{(- 3)}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{36}{- 27}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $36$ e $- 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Scomponi $9$ da $36$ .

$\frac{9 (4)}{- 27}$

Passaggio 13.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Scomponi $9$ da $- 27$ .

$\frac{9 \cdot 4}{9 \cdot - 3}$

Passaggio 13.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \cdot 4}{9 \cdot - 3}$

Passaggio 13.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{- 3}$

Passaggio 13.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{3}$

Passaggio 14

$x = - 3$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 3$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{18}{- 3}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f (- 3) = - 6 + \frac{18}{- 3}$

Passaggio 15.2.1.2

Dividi $18$ per $- 3$ .

$f (- 3) = - 6 - 6$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $6$ da $- 6$ .

$f (- 3) = - 12$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$y = - 12$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x + \frac{18}{x}$ .

$(3, 12)$ è un minimo locale

$(- 3, - 12)$ è un massimo locale

Passaggio 17