Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 18$ .

$12 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{3} - 36 x + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $12 x^{3} - 36 x$ e $0$ .

$12 x^{3} - 36 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 36 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 36 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 36$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$12 x^{3} - 36 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $12 x^{3} - 36 x$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} - 36 x$ .

$12 x^{3} - 36 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} - 36 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} - 36 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3} - 36 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 36 x = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $12 x$ da $- 36 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 3) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $12 x$ da $12 x (x^{2}) + 12 x (- 3)$ .

$12 x (x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 5.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x (x^{2} - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$36 {(0)}^{2} - 36$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$36 \cdot 0 - 36$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $36$ per $0$ .

$0 - 36$

Passaggio 9.2

Sottrai $36$ da $0$ .

$- 36$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 18 {(0)}^{2} + 15$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 18 {(0)}^{2} + 15$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 18 {(0)}^{2} + 15$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 15$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 18$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 15$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 15$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $0$ e $15$ .

$f (0) = 15$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $15$ .

$y = 15$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \sqrt{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$36 {(\sqrt{3})}^{2} - 36$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 36$

Passaggio 13.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 36$

Passaggio 13.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 36$

Passaggio 13.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 36$

Passaggio 13.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$36 \cdot 3^{1} - 36$

Passaggio 13.1.1.5

Calcola l'esponente.

$36 \cdot 3 - 36$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $36$ per $3$ .

$108 - 36$

Passaggio 13.2

Sottrai $36$ da $108$ .

$72$

Passaggio 14

$x = \sqrt{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \sqrt{3}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{3}) = 3 {(\sqrt{3})}^{4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2.1.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2.1.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\sqrt{3}) = 3^{1 + 2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2.1.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 3^{3} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15$

Passaggio 15.2.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15$

Passaggio 15.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Passaggio 15.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Passaggio 15.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Passaggio 15.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $- 18$ per $3$ .

$f (\sqrt{3}) = 27 - 54 + 15$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Sottrai $54$ da $27$ .

$f (\sqrt{3}) = - 27 + 15$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $- 27$ e $15$ .

$f (\sqrt{3}) = - 12$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$y = - 12$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = - \sqrt{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$36 {(- \sqrt{3})}^{2} - 36$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$36 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) - 36$

Passaggio 17.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$36 (1 {\sqrt{3}}^{2}) - 36$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$36 {\sqrt{3}}^{2} - 36$

Passaggio 17.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 36$

Passaggio 17.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 36$

Passaggio 17.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 36$

Passaggio 17.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 36$

Passaggio 17.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$36 \cdot 3^{1} - 36$

Passaggio 17.1.4.5

Calcola l'esponente.

$36 \cdot 3 - 36$

Passaggio 17.1.5

Moltiplica $36$ per $3$ .

$108 - 36$

Passaggio 17.2

Sottrai $36$ da $108$ .

$72$

Passaggio 18

$x = - \sqrt{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \sqrt{3}$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = - \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = 3 {(- \sqrt{3})}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 (1 {\sqrt{3}}^{4}) - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.3

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{4}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 {\sqrt{3}}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 19.2.1.4.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 19.2.1.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.4.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.5

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 19.2.1.5.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ .

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Passaggio 19.2.1.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3 \cdot 3^{2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.5.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \sqrt{3}) = 3^{1 + 2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.5.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3^{3} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.7

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 15$

Passaggio 19.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 15$

Passaggio 19.2.1.9

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 {\sqrt{3}}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.10

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 19.2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15$

Passaggio 19.2.1.10.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15$

Passaggio 19.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Passaggio 19.2.1.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 19.2.1.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Passaggio 19.2.1.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Passaggio 19.2.1.10.5

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Passaggio 19.2.1.11

Moltiplica $- 18$ per $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = 27 - 54 + 15$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 19.2.2.1

Sottrai $54$ da $27$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 27 + 15$

Passaggio 19.2.2.2

Somma $- 27$ e $15$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 12$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$y = - 12$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$ .

$(0, 15)$ è un massimo locale

$(\sqrt{3}, - 12)$ è un minimo locale

$(- \sqrt{3}, - 12)$ è un minimo locale

Passaggio 21