Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 10} \frac{x^{2} + 10 x}{(x^{2} + 100) (x + 10)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 10} x^{2} + 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $10$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 10 lim_{x \to - 10} x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $- 10$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 10$ per $x$ .

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 lim_{x \to - 10} x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 10$ per $x$ .

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 \cdot - 10}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$\frac{100 + 10 \cdot - 10}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Moltiplica $10$ per $- 10$ .

$\frac{100 - 100}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Sottrai $100$ da $100$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $- 10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} x^{2} + 100 \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Passaggio 1.1.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 10$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite di $100$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 10$ .

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Passaggio 1.1.3.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 10$ .

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 10)}$

Passaggio 1.1.3.6

Calcola il limite di $10$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 10$ .

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + 10)}$

Passaggio 1.1.3.7

Calcola il limite inserendo $- 10$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 10$ per $x$ .

$\frac{0}{({(- 10)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + 10)}$

Passaggio 1.1.3.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 10$ per $x$ .

$\frac{0}{({(- 10)}^{2} + 100) \cdot (- 10 + 10)}$

Passaggio 1.1.3.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.8.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{(100 + 100) \cdot (- 10 + 10)}$

Passaggio 1.1.3.8.2

Somma $100$ e $100$ .

$\frac{0}{200 \cdot (- 10 + 10)}$

Passaggio 1.1.3.8.3

Somma $- 10$ e $10$ .

$\frac{0}{200 \cdot 0}$

Passaggio 1.1.3.8.4

Moltiplica $200$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.8.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.9

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 10} \frac{x^{2} + 10 x}{(x^{2} + 100) (x + 10)} = lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 10 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} + 100$ e $g (x) = x + 10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Passaggio 1.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $x^{2} + 100$ per $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Passaggio 1.3.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 100$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100])}$

Passaggio 1.3.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [100])}$

Passaggio 1.3.13

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x + 0)}$

Passaggio 1.3.14

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x)}$

Passaggio 1.3.15

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 \cdot (x + 10) x}$

Passaggio 1.3.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (2 x + 2 \cdot 10) x}$

Passaggio 1.3.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x \cdot x + 2 \cdot 10 x}$

Passaggio 1.3.16.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.16.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 10 x}$

Passaggio 1.3.16.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 10 x}$

Passaggio 1.3.16.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 10 x}$

Passaggio 1.3.16.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{2} + 2 \cdot 10 x}$

Passaggio 1.3.16.3.5

Moltiplica $2$ per $10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{2} + 20 x}$

Passaggio 1.3.16.3.6

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{3 x^{2} + 100 + 20 x}$

Passaggio 1.3.16.4

Riordina i termini.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{3 x^{2} + 20 x + 100}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} 2 x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} 2 x + lim_{x \to - 10} 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $10$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 10$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 10$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Passaggio 2.7

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Passaggio 2.8

Sposta il termine $20$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 100}$

Passaggio 2.9

Calcola il limite di $100$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 10$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $- 10$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 10$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 10$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 10$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $- 10$ .

$\frac{- 20 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Passaggio 4.1.2

Somma $- 20$ e $10$ .

$\frac{- 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 10}{3 \cdot 100 + 20 \cdot - 10 + 100}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $3$ per $100$ .

$\frac{- 10}{300 + 20 \cdot - 10 + 100}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $20$ per $- 10$ .

$\frac{- 10}{300 - 200 + 100}$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $200$ da $300$ .

$\frac{- 10}{100 + 100}$

Passaggio 4.2.5

Somma $100$ e $100$ .

$\frac{- 10}{200}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $200$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $10$ da $- 10$ .

$\frac{10 (- 1)}{200}$

Passaggio 4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $10$ da $200$ .

$\frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 20}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 20}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{20}$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{20}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{20}$

Forma decimale:

$- 0.05$