Calcolo Esempi

$lim_{x \to 9} \frac{9 - x}{\sqrt{x} - 3}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 9} 9 - x}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} 9 - lim_{x \to 9} x}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{9 - lim_{x \to 9} x}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 3}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9} x} - lim_{x \to 9} 3}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 9} \frac{9 - x}{\sqrt{x} - 3} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Passaggio 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.7.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.7.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.7.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.7.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.7.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.7.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.7.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Passaggio 1.3.9

Semplifica.

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Passaggio 1.3.9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Passaggio 1.3.9.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Passaggio 1.3.9.2.2

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 9} - (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.5

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} - (2 \sqrt{x})$

Passaggio 1.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 9} - 2 \sqrt{x}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 9} \sqrt{x}$

Passaggio 2.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 9} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$- 2 \sqrt{9}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- 2 \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- 2 \cdot 3$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- 6$