Calcolo Esempi

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 8 x + 15}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 4 x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 4 x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{2} - 4 lim_{x \to 3} x + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{2} - 4 \cdot 3 + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{9 - 4 \cdot 3 + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{9 - 12 + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $12$ da $9$ .

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Somma $- 3$ e $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - 8 x + 15}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 8 x + lim_{x \to 3} 15}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 8 x + lim_{x \to 3} 15}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 15}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite di $15$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 3} x + 15}$

Passaggio 1.1.3.5

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{3^{2} - 8 lim_{x \to 3} x + 15}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{3^{2} - 8 \cdot 3 + 15}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{9 - 8 \cdot 3 + 15}$

Passaggio 1.1.3.6.1.2

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$\frac{0}{9 - 24 + 15}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Sottrai $24$ da $9$ .

$\frac{0}{- 15 + 15}$

Passaggio 1.1.3.6.3

Somma $- 15$ e $15$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 8 x + 15} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $2 x - 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8 x + 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [15]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [15]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]}$

Passaggio 1.3.9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]}$

Passaggio 1.3.9.3

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{2 x - 8 + \frac{d}{d x} [15]}$

Passaggio 1.3.10

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{2 x - 8 + 0}$

Passaggio 1.3.11

Somma $2 x - 8$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4}{2 x - 8}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $2 x - 4$ e $2 x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x) - 4}{2 x - 8}$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 x - 8}$

Passaggio 1.4.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- 2)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x - 2)}{2 x - 8}$

Passaggio 1.4.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x - 2)}{2 (x) - 8}$

Passaggio 1.4.4.2

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x - 2)}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Passaggio 1.4.4.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x - 2)}{2 (x - 4)}$

Passaggio 1.4.4.4

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 3} \frac{2 (x - 2)}{2 (x - 4)}$

Passaggio 1.4.4.5

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 3} \frac{x - 2}{x - 4}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 2}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 3} x - 4}$

Passaggio 2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 4}$

Passaggio 2.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 2}{3 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3 - 2}{3 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{3 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{1}{3 - 4}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$\frac{1}{- 1}$

Passaggio 4.3

Dividi $1$ per $- 1$ .

$- 1$