Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x$

Passaggio 1

Moltiplica per razionalizzare il numeratore.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Espandi il numeratore usando il metodo FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Passaggio 2.2.2

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + x}$

Passaggio 3.1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 3.1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + x}$

Passaggio 3.1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + x}$

Passaggio 3.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x + 1 + x}$

Passaggio 3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.2.1

Somma $x$ e $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} 1$

Passaggio 4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$1$