Calcolo Esempi

$lim_{x \to 8} {(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$ come $e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})$ spostando $\frac{2}{x}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Passaggio 2.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Passaggio 2.4

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Passaggio 2.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Passaggio 2.6

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + 1)}$

Passaggio 2.7

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Passaggio 2.8

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Passaggio 2.9

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$e^{2 \frac{1}{2 (4)} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Passaggio 4.1.2

Elimina il fattore comune.

$e^{2 \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Passaggio 4.2

$\frac{1}{4}$ e $\ln (e^{8} + 1)$ .

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Forma decimale:

$7.38967570 \dots$