Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ come $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ spostando $\cot (x)$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$

Passaggio 2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (1 + x)}$

Passaggio 3

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (1 + x)$

Passaggio 4

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\cot (x) \ln (1 + x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ - 0.1 & 1.05009079 \\ - 0.01 & 1.00500008 \\ - 0.001 & 1.0005 \\ - 0.0001 & 1.00005 \\ - 0.00001 & 1.00000499 \end{array}$

Passaggio 5

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $1$ . Di conseguenza, il limite di $\cot (x) \ln (1 + x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $1$ .

$1$

Passaggio 6

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + x)$

Passaggio 7

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\cot (x) \ln (1 + x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ 0.1 & 0.94992267 \\ 0.01 & 0.99499991 \\ 0.001 & 0.99949999 \\ 0.0001 & 0.99995 \\ 0.00001 & 0.99999499 \end{array}$

Passaggio 8

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $1$ . Di conseguenza, il limite di $\cot (x) \ln (1 + x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $1$ .

$e^{1}$

Passaggio 9

Semplifica.

$e$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e$

Forma decimale:

$2.71828182 \dots$