Calcolo Esempi

$5 t^{2} + \frac{4}{t^{2}} - 18$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 t^{2} + \frac{4}{t^{2}} - 18$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t^{2}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 t + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{4}{t^{2}}$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$10 t + 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{t^{2}}$ come ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$10 t + 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{2}$ .

$10 t + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$10 t + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2}$ .

$10 t + 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$10 t + 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 t + 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$10 t + 4 (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$10 t + 4 (- 2 t^{- 4} t) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 3.7

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$10 t + 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 t + 4 (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$10 t + 4 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 3.10

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$10 t - 8 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- 18]$

Passaggio 4

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $t$ è $0$ .

$10 t - 8 t^{- 3} + 0$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 t - 8 \frac{1}{t^{3}} + 0$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

$- 8$ e $\frac{1}{t^{3}}$ .

$10 t + \frac{- 8}{t^{3}} + 0$

Passaggio 5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$10 t - \frac{8}{t^{3}} + 0$

Passaggio 5.2.3

Somma $10 t - \frac{8}{t^{3}}$ e $0$ .

$10 t - \frac{8}{t^{3}}$