Calcolo Esempi

$x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} = 10$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 y^{2} y')$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 3 (2 x y y') + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 (y x) + 3 (2 x y y') + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.5.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 y x + 6 x y y' + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.5.4

Riordina i termini.

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y'$

Passaggio 3

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $3 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2}$

Passaggio 5.1.3

Somma $6 x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x^{2} y' + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.2

Scomponi $3 y'$ da $- 3 x^{2} y' + 6 x y y' - 3 y^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $3 y'$ da $- 3 x^{2} y'$ .

$3 y' (- x^{2}) + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $3 y'$ da $6 x y y'$ .

$3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $3 y'$ da $- 3 y^{2} y'$ .

$3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y) + 3 y' (- y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $3 y'$ da $3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y)$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 x y) + 3 y' (- y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $3 y'$ da $3 y' (- x^{2} + 2 x y) + 3 y' (- y^{2})$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Riordina i termini.

$3 y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.3.1.1.2

Riordina $- y^{2}$ e $2 x y$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.3.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 x y$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.3.1.1.4

Riscrivi $2$ come $1$ più $1$ .

$3 y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.3.1.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$3 y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.3.1.1.6

Moltiplica $x y$ per $1$ .

$3 y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.3.1.1.7

Moltiplica $x y$ per $1$ .

$3 y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.3.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$3 y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.3.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 y' (x (- x + y) - y (- x + y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.3.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + y$ .

$3 y' ((- x + y) (x - y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 y' (- x + y) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$3 y' (- (x) + y) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$3 y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- y)$ .

$3 y' (- (x - y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.4.4

Riscrivi $- (x - y)$ come $- 1 (x - y)$ .

$3 y' (- 1 (x - y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.4.5

Rimuovi le parentesi.

$3 y' \cdot (- 1 (x - y) (x - y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.4.6

Eleva $x - y$ alla potenza di $1$ .

$3 y' \cdot (- 1 ((x - y) (x - y))) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.4.7

Eleva $x - y$ alla potenza di $1$ .

$3 y' \cdot (- 1 ((x - y) (x - y))) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.4.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 y' \cdot (- 1 {(x - y)}^{1 + 1}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.4.9

Somma $1$ e $1$ .

$3 y' \cdot (- 1 {(x - y)}^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.4.10

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 5.5

Dividi per $- 3 {(x - y)}^{2}$ ciascun termine in $- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $- 3 {(x - y)}^{2}$ ciascun termine in $- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$ .

$\frac{- 3 y' {(x - y)}^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y' {(x - y)}^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune di ${(x - y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.3.1

Scomponi $3$ da $6 x y$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.3.2.1

Scomponi $3$ da $- 3 {(x - y)}^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{3 (- {(x - y)}^{2})}$

Passaggio 5.5.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{3 (- {(x - y)}^{2})}$

Passaggio 5.5.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{2 x y}{- {(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$