Calcolo Esempi

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + 1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $- \sin (x)$ per $1$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 9.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- \sin (x) + 1}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $- \sin (x) + 1$ e ${(1 - \sin (x))}^{2}$ .

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Passaggio 9.3.1

Riordina i termini.

$\frac{1 - \sin (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 1}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9.3.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.3.3.1

Scomponi $1 - \sin (x)$ da ${(1 - \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 1}{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Passaggio 9.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 1}{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Passaggio 9.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$