Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

Passaggio 5.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 7

Dividi $1$ per $1$ .

$1$