Calcolo Esempi

$lim_{x \to 8} {(1 + \frac{a}{x})}^{b x}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x} + \frac{a}{x})}^{b x}$

Passaggio 1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x + a}{x})}^{b x}$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(\frac{x + a}{x})}^{b x}$ come $e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{b x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{b x})}$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{b x})$ spostando $b x$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{b x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 8} b x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $b$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Passaggio 3.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x + a}{x})}$

Passaggio 3.4

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x + a}{x})}$

Passaggio 3.5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Passaggio 3.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} a}{lim_{x \to 8} x})}$

Passaggio 3.7

Calcola il limite di $a$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{b \cdot 8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{b \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{b \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + a}{8})}$

Passaggio 5

Sposta $8$ alla sinistra di $b$ .

$e^{8 b \ln (\frac{8 + a}{8})}$