Calcolo Esempi

$\int {(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2}$ come $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ .

$\int (\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Passaggio 1.2

Espandi $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \tan (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $\tan (2 x) \tan (2 x)$ .

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Passaggio 1.3.1.1.1

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 1.3.1.1.2

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 1.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\tan (2 x)}^{1 + 1} + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 1.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 1.3.1.2.1

Riordina $\tan (2 x)$ e $\cot (2 x)$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 1.3.1.2.2

Riscrivi $\tan (2 x) \cot (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$\int \tan^{2} (2 x) + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 1.3.1.2.3

Elimina i fattori comuni.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 1.3.1.3.1

Riscrivi $\cot (2 x) \tan (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 1.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $\cot (2 x) \cot (2 x)$ .

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Passaggio 1.3.1.4.1

Eleva $\cot (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 1.3.1.4.2

Eleva $\cot (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x) d x$

Passaggio 1.3.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + {\cot (2 x)}^{1 + 1} d x$

Passaggio 1.3.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{2} (2 x) d x$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 2 + \cot^{2} (2 x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \tan^{2} (2 x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \tan^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Passaggio 4

$\tan^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Passaggio 6

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (u_{1})$ come $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Passaggio 9

Poiché la derivata di $\tan (u_{1})$ è $\sec^{2} (u_{1})$ , l'integrale di $\sec^{2} (u_{1})$ è $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = 2 x$ . Allora $d u_{2} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 11.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 12

$\cot^{2} (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \frac{\cot^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int \cot^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 14

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\cot^{2} (u_{2})$ come $- 1 + \csc^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int - 1 + \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 15

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 16

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 17

Poiché la derivata di $- \cot (u_{2})$ è $\csc^{2} (u_{2})$ , l'integrale di $\csc^{2} (u_{2})$ è $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C - \cot (u_{2}) + C)$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Semplifica.

$- \frac{u_{1}}{2} + \frac{\tan (u_{1})}{2} + 2 x + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) + C$

Passaggio 18.2

Semplifica.

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Passaggio 18.2.1

Per scrivere $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot \frac{2}{2} + C$

Passaggio 18.2.2

$\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 18.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 18.2.4

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Passaggio 18.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 18.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Passaggio 18.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + 1 (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Passaggio 18.2.6

Moltiplica $- u_{2} - \cot (u_{2})$ per $1$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

Passaggio 19

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 19.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

Passaggio 19.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Passaggio 20

Semplifica.

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Passaggio 20.1

Riduci l'espressione $\frac{2 x}{2}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 20.1.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Passaggio 20.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{x}{1} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Passaggio 20.2

Dividi $x$ per $1$ .

$- x + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Passaggio 20.3

Somma $- x$ e $2 x$ .

$x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Passaggio 20.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x + \frac{\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)}{2} + C$

Passaggio 21

Riordina i termini.

$x + \frac{1}{2} (\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)) + C$