Calcolo Esempi

$\int \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x)} d x$

Passaggio 1.2

Scomponi $\sin^{3} (x)$ da $\sin^{4} (x)$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \sin (x)} d x$

Passaggio 1.3

Frazioni separate.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)} d x$

Passaggio 1.4

Converti da $\frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)}$ a $\cot^{3} (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot^{3} (x) d x$

Passaggio 1.5

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\int \csc (x) \cot^{3} (x) d x$

Passaggio 2

Scrivi $\cot^{3} (x)$ come $\cot (x) \cot^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) (\cot (x) \cot^{2} (x)) d x$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\cot^{2} (x)$ come $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) \cot (x) (- 1 + \csc^{2} (x)) d x$

Passaggio 4

Sia $u = \csc (x)$ . Allora $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , quindi $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \csc (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Passaggio 4.1.3

Riordina i fattori di $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int - (- 1 + u^{2}) d u$

Passaggio 5

Moltiplica $- (- 1 + u^{2})$ .

$\int - - 1 - u^{2} d u$

Passaggio 6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$u + C - \int u^{2} d u$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\csc (x)$ .

$\csc (x) - \frac{1}{3} \csc^{3} (x) + C$