Calcolo Esempi

$\int \frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{3} (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \cot (x)$ . Allora $d u = - \csc^{2} (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cot (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{3}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \int u^{- 3} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 3}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica.

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Passaggio 6.1.1

$u^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Passaggio 6.1.2

Sposta $u^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Passaggio 6.2

Semplifica.

$- - \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2 u^{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cot (x)$ .

$\frac{1}{2 \cot^{2} (x)} + C$