Calcolo Esempi

$\int {(x^{2} + 5)}^{3} d x$

Passaggio 1

Espandi ${(x^{2} + 5)}^{3}$ .

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Passaggio 1.1

Usa il teorema binomiale.

$\int {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5^{3} d x$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot 5^{2} d x$

Passaggio 1.7

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

Passaggio 1.8

Sposta $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 5 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

Passaggio 1.9

Sposta $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

Passaggio 1.10

Sposta $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

Passaggio 1.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Passaggio 1.12

Somma $2$ e $2$ .

$\int x^{4} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Passaggio 1.13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{4 + 2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Passaggio 1.14

Somma $4$ e $2$ .

$\int x^{6} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Passaggio 1.15

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Passaggio 1.16

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{6} + 15 x^{2 + 2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Passaggio 1.17

Somma $2$ e $2$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Passaggio 1.18

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 15 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Passaggio 1.19

Moltiplica $15$ per $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Passaggio 1.20

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 25 \cdot 5 d x$

Passaggio 1.21

Moltiplica $25$ per $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 125 d x$

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 125 d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{6} d x + \int 15 x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 15 x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

Passaggio 4

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , sposta $15$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 \int x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

Passaggio 6

Poiché $75$ è costante rispetto a $x$ , sposta $75$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 \int x^{2} d x + \int 125 d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 125 d x$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 125 x + C$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

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Passaggio 9.1.1

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 125 x + C$

Passaggio 9.1.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 125 x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 125 x + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

$\frac{x^{7}}{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

Passaggio 9.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{7} x^{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$